Показательное распределение

Сколько ждать следующего звонка в колл-центр, следующего сбоя сервера, распада следующего атома? Если события идут пуассоновским потоком с интенсивностью $\lambda$ в единицу времени, ответ даёт показательное распределение: время ожидания имеет плотность $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ при $x\ge 0$ и нулевую при $x<0$. Функция распределения ещё нагляднее: $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ — вероятность дождаться события раньше момента $x$; а $e^{-\lambda x}$ — шанс, что оно ещё не случилось. Плотность монотонно убывает: короткие ожидания вероятнее долгих, но длинный хвост тянется бесконечно. Это распределение — рабочий инструмент теории надёжности и очередей, вывод см. в уроке непрерывные случайные величины.

Числа: на пульт диспетчера в среднем поступает $\lambda =0,5$ вызова в минуту, значит среднее ожидание $M(X)=1/\lambda =2$ минуты, а стандартное отклонение — тоже $2$ минуты: у показательного распределения $\sigma$ равна среднему, красивая проверка расчёта. Шанс прождать больше $4$ минут: $e^{-0,5\cdot 4}=e^{-2}\approx 0,135$. Шанс прождать меньше минуты: $1-e^{-0,5}\approx 0,393$. Свойство без памяти: если вы уже проторчали у телефона $10$ минут, ожидание всё равно в среднем $2$ минуты — поток не стареет. Поэтому в теории надёжности показательный закон описывает период, когда отказы случайны и оборудование не изнашивается; формула надёжности $P(T>t)=e^{-\lambda t}$ — в шпаргалке.