Геометрическое распределение

Бросаем монетку (или стреляем, или звоним клиенту) снова и снова, пока не случится успех с вероятностью $p$. Номер удачной попытки $X$ имеет геометрическое распределение: чтобы первый успех пришёл именно на $k$-м шаге, до него должны пройти $k-1$ неудач, а потом успех: $P(X=k)=q^{k-1}p$, где $q=1-p$. Название честное: вероятности $p,qp,q^{2}p,\dots$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$. Сумма всех вероятностей $p(1+q+q^2+\dots )=1$ — сходящаяся геометрическая серия; рано или поздно успех случится наверняка, если только $p>0$. Выводится всё это в схеме Бернулли.

Пример: баскетболист попадает со штрафного с вероятностью $p=0,2$ (плохой день). Третья попытка — первая удачная: $P(X=3)=0,8^2\cdot 0,2=0,128$. Среднее число попыток до первого попадания $M(X)=1/p=5$, дисперсия $D(X)=q/p^2=0,8/0,04=20$, стандартное отклонение $\sqrt{20}\approx 4,47$ — разброс огромен, «среднее пять» ничего не гарантирует про конкретную серию. Фирменное свойство — отсутствие памяти: $P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$. Если первые $10$ бросков мимо, ожидание успеха всё ещё «через $5$ бросков» — монетка не помнит неудач. Хвосты вероятности $P(X>k)=q^k$ убывают геометрически, см. математическое ожидание.