Гипергеометрическое распределение

В урне $N$ шаров, из них $K$ белых. Вытягиваем $n$ шаров, не возвращая. Число белых среди вынутых — случайная величина с гипергеометрическим распределением: ровно $k$ белых вынутся $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)$ способами, остальные $n-k$ — чёрные, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)$ способами, а всего выборов $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)$. Схема отличается от испытаний Бернулли принципиально: после каждого вытягивания состав урны меняется, испытания зависимы, «вероятность успеха» не константа. Именно поэтому для лотерей и выборочного контроля качества биномиальная формула из схемы Бернулли неприменима — нужен честный подсчёт через сочетания.

Пример: в ящике $20$ деталей, $4$ бракованные. Контролёр берёт $5$. Вероятность ровно одной бракованной: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{4}\right)/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{5}\right)=4\cdot 1820/15504=7280/15504\approx 0,469$. Среднее и дисперсия тоже свои: $M(X)=nK/N=5\cdot 4/20=1$ — то же, что у биномиального, а вот дисперсия меньше: $D(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}=5\cdot 0,2\cdot 0,8\cdot \frac{15}{19}\approx 0,632$. Множитель $(N-n)/(N-1)$ — плата за зависимость: выборка без возвращения «выравнивает» результат сильнее. Ещё пара задач такого рода — в уроке дискретные случайные величины.