🌊 Диффуры

Порядок дифференциального уравнения

Q: Как понизить порядок уравнения?

Искать отсутствующие участники. Нет $y$ — обозначаем $p = y'$ как новую неизвестную функцию от $x$; нет $x$ — считаем $p$ функцией от $y$ и заменяем $y'' = p\,dp/dy$. Симметричный случай линейного уравнения с известным частным решением понижает порядок подстановкой Эйлера $y = u \cdot y_1$. Каждый приём экономит одно интегрирование, а на экзамене — и полстраницы выкладок.

англ. Order of a differential equation

Номер старшей производной, входящей в уравнение; у решения порядка n ровно n произвольных постоянных общего решения.

Порядок дифференциального уравнения — это номер старшей производной, которая в нём встречается: $y^{'} + y = e^{x}$ — первого порядка, $y^{''} = g$ — второго, а уравнение колебаний $m y^{''} + k y = 0$ тоже второго, хотя неизвестная входит туда трижды. Порядок определяет структуру ответа: общее решение уравнения $n$ -го порядка содержит ровно $n$ произвольных постоянных, и столько же условий нужно, чтобы их закрепить. Классификация и техника для старших порядков — в уроке ДУ высших порядков, базовые определения — в термине дифференциальное уравнение.

Порядок — не приговор, его часто снижают удачной заменой. Если уравнение не содержит $y$ явно ( $F (x, y^{'}, y^{''}) = 0$ ), вводят $p (x) = y^{'}$ и получают уравнение на $p$ на порядок ниже. Если не содержит $x$ , полагают $p (y) = y^{'}$ и используют $y^{''} = p d p / d y$ . Механика подсказывает логику: второй закон Ньютона — уравнение второго порядка, потому что для предсказания траектории нужны позиция и скорость в начальный момент. Линейные уравнения старших порядков живут по своей теории — в уроке линейные однородные ДУ.

F (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n)}) = 0, y = φ (x, C_{1}, \dots, C_{n})

порядок уравнения равен n — старшей производной; столько же постоянных сидит в общем решении

Частые вопросы

Почему в общем решении ровно n произвольных постоянных?

Каждое интегрирование добавляет одну константу, а уравнение $n$ -го порядка при разумных условиях разрешимо относительно старшей производной и сводится к системе $n$ уравнений первого порядка — для неё решение строится $n$ последовательными интегрированиями. Начальные данные $y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})$ фиксируют все константы однозначно: у задачи Коши есть ровно столько условий, сколько постоянных.

Как понизить порядок уравнения?

Искать отсутствующие участники. Нет $y$ — обозначаем $p = y^{'}$ как новую неизвестную функцию от $x$ ; нет $x$ — считаем $p$ функцией от $y$ и заменяем $y^{''} = p d p / d y$ . Симметричный случай линейного уравнения с известным частным решением понижает порядок подстановкой Эйлера $y = u \cdot y_{1}$ . Каждый приём экономит одно интегрирование, а на экзамене — и полстраницы выкладок.