🌊 Диффуры

Уравнение Клеро

Q: Чем уравнение Клеро отличается от уравнения Лагранжа?

Структурой правой части: у Клеро $y = x\,p + \varphi(p)$, у Лагранжа $y = x\,\psi(p) + \varphi(p)$ с нетождественной $\psi$. У Клеро всё решается в уме: либо $p$ = const и прямые, либо огибающая. У Лагранжа после дифференцирования остаётся линейное уравнение первого порядка относительно $p(x)$, которое ещё нужно решить. Практический тест: если коэффициент при $x$ — ровно $p$, это Клеро, и ответ пишется мгновенно.

англ. Clairaut equation

Уравнение y = x·y′ + φ(y′): общее решение — семейство прямых y = Cx + φ(C), плюс особое решение — огибающая этого семейства.

Уравнение Клеро — уравнение вида $y = x y^{'} + φ (y^{'})$ . Дифференцируем обе части: получаем $(x + φ^{'} (y^{'})) y^{''} = 0$ , и дальше два сценария. Либо $y^{'} = C$ — подстановка в исходное даёт прямые $y = C x + φ (C)$ , это общее решение, семейство всевозможных прямых с угловым коэффициентом, совпадающим со свободным членом. Либо $x + φ^{'} (y^{'}) = 0$ — параметрическое особое решение, огибающая этого семейства прямых. Общая техника решений, разрешённых относительно $x$ или $y$ , — в уроке основы ДУ первого порядка.

Геометрия делает уравнение прозрачным: оно описывает кривую, которая в каждой своей точке касается одной из прямых семейства $y = C x + φ (C)$ . Пример: $y = x y^{'} - \frac{( y ^{'} ) ^{2}}{4}$ даёт семейство прямых и огибающую — параболу $y = x^{2}$ . Родственник посложнее — уравнение Лагранжа $y = x ψ (y^{'}) + φ (y^{'})$ , где прямых-решений нет, но техника дифференцирования та же. Особое решение здесь не экзотика, а главный ответ задачи: в геометрических приложениях ищут именно кривую, а прямые — вспомогательный каркас. Связь с понятием особого решения — в терминах особое решение.

y = x p + φ (p), p = y^{'} \Rightarrow (x + φ^{'} (p)) p^{'} = 0 \Rightarrow y = C x + φ (C) или x = - φ^{'} (p)

дифференцирование уравнения Клеро расщепляет его на семейство прямых и огибающую — параметрически заданную кривую

Частые вопросы

Чем уравнение Клеро отличается от уравнения Лагранжа?

Структурой правой части: у Клеро $y = x p + φ (p)$ , у Лагранжа $y = x ψ (p) + φ (p)$ с нетождественной $ψ$ . У Клеро всё решается в уме: либо $p$ = const и прямые, либо огибающая. У Лагранжа после дифференцирования остаётся линейное уравнение первого порядка относительно $p (x)$ , которое ещё нужно решить. Практический тест: если коэффициент при $x$ — ровно $p$ , это Клеро, и ответ пишется мгновенно.

Что даёт особое решение в уравнении Клеро?

Кривую, в каждой точке которой касаются прямые семейства $y = C x + φ (C)$ . В геометрических задачах — «найти кривую, касательную к семейству прямых» — это и есть искомый ответ, а прямые играют роль строительных лесов. Аналитически особое решение получается исключением $p$ из системы $y = x p + φ (p)$ , $x + φ^{'} (p) = 0$ . Важно помнить: в точках огибающей нарушена единственность — через каждую точку проходит и прямая, и сама кривая.