📈 Матанализ

Оператор Гамильтона

англ. Hamilton operator (nabla)

Векторный дифференциальный оператор набла ∇, объединяющий градиент, дивергенцию и ротор в одной записи: применение к скаляру даёт градиент, к вектору — div и rot.

Оператор Гамильтона (набла) — формальный вектор из частных производных: $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}; \frac{\partial}{\partial y}; \frac{\partial}{\partial z})$ . Его сила — в экономии языка: три главные операции векторного анализа записываются как «произведения» наблы. Умножение на скаляр $u$ даёт градиент $\nabla u$ ; скалярное произведение с векторным полем — дивергенцию $\nabla \cdot F$ ; векторное произведение — ротор $\nabla \times F$ .

Набла — не настоящий вектор, а оператор: при перестановках нужно следить, на кого действует производная. Двойное применение даёт оператор Лапласа $Δ = \nabla \cdot \nabla = \nabla^{2}$ — центральное действующее лицо уравнений математической физики. Комбинаторика наблы порождает тождества вроде $div rot F = 0$ и $rot grad u = 0$ , на которых строятся критерии потенциальности и соленоидальности полей.

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}; \frac{\partial}{\partial y}; \frac{\partial}{\partial z}); \nabla u = grad u; \nabla \cdot F = div F; \nabla \times F = rot F; Δ u = \nabla^{2} u

набла и три её главных применения

Частые вопросы

Почему набла нельзя считать обычным вектором?

Его компоненты — операторы, и они не коммутируют с умножением: $\nabla \cdot (u F) = u \nabla \cdot F + F \cdot \nabla u$ , тогда как для настоящих векторов было бы только первое слагаемое. Правило такое: набла действует на всё, что стоит справа, и при преобразованиях это нужно явно учитывать.

Откуда символ ∇ и название «набла»?

Символ предложил Уильям Роуэн Гамильтон, а название закрепил Питер Тейт по форме древнегреческого инструмента — арфы «набла». Гамильтон видел в нём асимметричный «перевёрнутый дельта»; современная трёхкомпонентная запись стандартизована позже, в векторном анализе Гиббса.