Обратная матрица

Кнопка «отменить» для матричного действия: обратная матрица $A^{-1}$ отменяет преобразование $A$ — сначала повернули и растянули вектор $A$, потом $A^{-1}$ вернула всё как было: $A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$. Существует она не всегда, и это не техническая мелочь, а суть: если $\det A=0$, преобразование сминает пространство в меньшую размерность, и потерянные направления уже не восстановить — у сжатой прямой нет обратной дороги. Обратима ровно невырожденная матрица, и для квадратной $A$ обратная единственна.

Два рабочих способа. Через алгебраические дополнения: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{C}^T$, где $C$ — матрица миноров. Пример $2\times 2$: $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$, $\det A=1$, и $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$ — дополнения меняют знак у побочной диагонали и делят на определитель. Проверка умножением: $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6-5& -2+2\\ 15-15& -5+6\end{array}\right)=E$. Второй способ — метод Гаусса: припишите справа единичную и элементарными преобразованиями гоните пару $(A|E)$ до $(E|A^{-1})$. Зачем это всё: матричное уравнение $Ax=b$ решается одним умножением $x=A^{-1}b$, а теория — в уроке обратная матрица и термине определитель.