Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина — та, что может принять любое значение на промежутке, и её функция распределения $F(x)$ растёт плавно, без ступенек. Контраст с дискретной величиной: у игрального кубика вся вероятность собрана в шести точках, у роста человека она размазана по числовой прямой, и вероятность каждой отдельной точки нулевая. Поэтому паспорт непрерывной величины — это либо функция распределения $F(x)$, либо её производная — плотность вероятности; обе описания равносильны. Типовые примеры: время работы прибора, ошибка измерения, скорость молекулы, масса зерна. Техника расчётов вся сводится к интегрированию — см. урок непрерывные случайные величины.

Пример полного расчёта: время обслуживания клиента распределено с плотностью $f(x)=2e^{-2x}$ при $x\ge 0$ (показательный закон с $\lambda =2$, среднее $0,5$ часа). Вероятность уложиться в полчаса: $F(0,5)=1-e^{-1}\approx 0,632$. Вероятность обслужить дольше часа: $e^{-2}\approx 0,135$. Математическое ожидание $M(X)={\int }_0^{\infty }x\cdot 2e^{-2x}dx=1/2$, дисперсия $1/4$. Для дискретной величины те же величины считались бы суммами по точкам — см. математическое ожидание; для непрерывной суммы заменяются интегралами, а ступенчатая $F$ становится гладкой. Гибрид тоже бывает: смешанные распределения (время безотказной работы с гарантией «вечно» с некоторой вероятностью) имеют и скачки, и гладкие участки.