Мощность множества
англ. Cardinality
Размер множества, измеряемый биекцией: равномощны — значит есть взаимно однозначное соответствие; бесконечности бывают разные.
Мощность множества — размер множества, отвлечённый от природы элементов: два множества равномощны, если между ними существует биекция — взаимно однозначное соответствие. Для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, дальше интуиция ломается: у бесконечных множеств часть бывает равна целому. Чётные числа равномощны всем натуральным (), отрезок равномощен всей прямой — например, через , — а вот натуральные и действительные числа уже неравномощны, что и открыл Кантор.
Мощности образуют строгую иерархию: — мощность натурального ряда, континуум — мощность прямой, а по теореме Кантора множество всегда строго слабее своего множества подмножеств: , поэтому шкала мощностей не имеет верхнего конца. Для ТФДП мощность — фон, на котором строится мера: какие множества можно взвешивать и интегрировать по ним — отправная точка в уроке мера множества, операции над множествами, из которых собираются измеримые классы, — в материале множества и операции.
Частые вопросы
Почему нельзя считать все бесконечности одинаково большими?
Потому что биекции показывают обратное: натуральный ряд пересчитать можно, а отрезок — нет. Любой список действительных чисел неполон: диагональный аргумент Кантора строит число, отличающееся от каждого элемента списка в своём разряде. Мощность — единственный честный способ сравнивать бесконечные объёмы: равенство фиксируется взаимно однозначным соответствием, а не ощущением «много и там, и там».
Зачем матанализу мощности, если он работает с числами?
Потому что ТФДП начинается с вопроса: какие множества можно измерять и интегрировать по ним. Ответ зависит от размера: счётные множества имеют меру нуль, континуум — нет; от того, насколько велико множество разрывов, зависит существование интеграла Римана. Мощность — фоновая шкала, на которой висят мера Лебега, интеграл и классификация функций.