🧭 ТФКП

Модуль комплексного числа

англ. Modulus of a complex number

Расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости: |z| = √(x² + y²); ведёт себя как обычная длина и превращает деление в удобную операцию.

Модуль комплексного числа $z = x + i y$ — это расстояние от точки $z$ до начала координат: $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ . Геометрия здесь не украшение, а суть: модуль — обычная евклидова длина радиус-вектора, поэтому для него верно неравенство треугольника $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ с понятным смыслом «прямой путь не длиннее ломаного». Полезное тождество связывает модуль с сопряжением: $∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ — произведение числа на сопряжённое всегда вещественно и неотрицательно. Арифметика комплексных чисел — в уроке формы записи и действия, базовый объект — в термине комплексное число.

Алгебра модулей приятная: $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣$ и $∣ z_{1} / z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣/∣ z_{2} ∣$ — модуль произведения равен произведению модулей, тогда как для суммы такого закона нет. Практический приём: деление на $z$ выполняется умножением на $\overset{z}{ˉ} /∣ z ∣^{2}$ , так что сопряжение и модуль вместе делают дроби управляемыми. Окружность $∣ z ∣ = r$ — множество точек на заданном расстоянии от нуля, а $∣ z ∣ = 1$ — единичная окружность, главная сцена для тригонометрических выкладок. Там, где модуль и аргумент работают в паре, начинается показательная форма.

∣ z ∣ = x^{2} + y^{2} = z \overset{z}{ˉ}, ∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣

модуль через сопряжение и мультипликативность: произведение чисел имеет модуль — произведение модулей

Частые вопросы

Как делить комплексные числа, не допуская ошибок?

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: $(a + bi) / (c + d i) = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}$ . Знаменатель превращается в вещественное число $∣ z ∣^{2}$ , числитель раскрывается почленно, ответ собирается в алгебраической форме. Короткий путь — через показательные формы: модули делятся, аргументы вычитаются. Первый способ надёжен для мелких чисел, второй — когда числа уже заданы через модуль и угол.

Что означает условие |z| = const?

Окружность с центром в начале координат: все точки плоскости на одинаковом расстоянии от нуля. В вычислениях это условие резко упрощает жизнь — на единичной окружности $∣ z ∣ = 1$ сопряжённое число равно обратному, $\overset{z}{ˉ} = 1/ z$ , а $e^{i φ}$ пробегает все направления. Условия вида $∣ z - z_{0} ∣ = r$ задают окружность вокруг произвольного центра $z_{0}$ — так записываются круги сходимости рядов и области аналитичности в ТФКП.