📈 Матанализ

Модуль числа

Q: Почему √(x²) = |x|, а не просто x?

Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен: при $x = -3$ выражение $\sqrt{9} = 3$, а не минус три. Корень возвращает расстояние, то есть модуль. Потеря модуля здесь — классическая ошибка, которая ломает знак во всех дальнейших выкладках.

Q: Как раскрыть модуль в уравнении?

Двумя случаями: для выражения под модулем неотрицательного и отрицательного, либо геометрически — как точки на заданном расстоянии. Первый путь надёжнее в сложных уравнениях, второй мгновеннее в простых: $|x - 4| = 3$ — это числа семь и один.

англ. Absolute value

Расстояние от числа до нуля на числовой прямой: |x| = x при x ≥ 0 и −x при x < 0; всегда неотрицателен.

Модуль числа — расстояние от точки до нуля: $∣3∣ = 3$ и $∣ - 3∣ = 3$ , потому что обе точки отстоят от нуля на три единицы. Аналитически $∣ x ∣ = x$ при $x \geq 0$ и $∣ x ∣ = - x$ при $x < 0$ . Модуль всегда неотрицателен, чётен и подчиняется правилу: $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ , но $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ — неравенство треугольника.

Модуль читается и как расстояние между числами: $∣ x - a ∣$ — расстояние от $x$ до $a$ . Уравнение $∣ x - 3∣ = 2$ — точки на расстоянии двух от тройки, то есть $1$ и $5$ . Эта геометрия делает неравенства с модулем почти устными: $∣ x - a ∣ < ε$ — интервал $(a - ε; a + ε)$ , и именно так записывается окрестность в определении предела.

∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0; ∣ x - a ∣ = расстояние; x^{2} = ∣ x ∣

определение, расстояние и связь с корнем

Частые вопросы

Почему √(x²) = |x|, а не просто x?

Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен: при $x = - 3$ выражение $9 = 3$ , а не минус три. Корень возвращает расстояние, то есть модуль. Потеря модуля здесь — классическая ошибка, которая ломает знак во всех дальнейших выкладках.

Как раскрыть модуль в уравнении?

Двумя случаями: для выражения под модулем неотрицательного и отрицательного, либо геометрически — как точки на заданном расстоянии. Первый путь надёжнее в сложных уравнениях, второй мгновеннее в простых: $∣ x - 4∣ = 3$ — это числа семь и один.