📈 Матанализ

Котангенс

Q: Где у котангенса разрывы, а где нули?

Разрывы там, где синус нулевой: в точках $\pi k$ — функция определена через деление на синус. Нули — где косинус нулевой: в $\tfrac{\pi}{2} + \pi k$. Всё зеркально тангенсу: у него разрывы в $\tfrac{\pi}{2} + \pi k$, нули в $\pi k$. Запомнить помогает взаимность: что у одного ноль, у другого асимптота.

англ. Cotangent

Отношение косинуса к синусу: ctg t = cos t / sin t = 1/tg t; определён при sin t ≠ 0, период π, нули в π/2 + πk.

Котангенс — обратное отношение к тангенсу: $ctg t = \frac{c o s t}{s i n t} = \frac{1}{tg t}$ . Определён при $sin t \neq = 0$ , то есть всюду, кроме $π k$ — там функция рвётся с вертикальными асимптотами. Нули лежат в $\frac{π}{2} + π k$ — там, где косинус нулевой. Период $π$ , как у тангенса; функция убывает на каждом интервале непрерывности.

В школьной практике котангенс встречается реже тангенса, но в таблицах и уравнениях живёт на равных: $ctg \frac{π}{6} = 3$ , $ctg \frac{π}{4} = 1$ , $ctg \frac{π}{2} = 0$ . Связка с тангенсом тождественна: $tg t \cdot ctg t = 1$ — на любой точке, где оба определены. В уравнении $ctg x = a$ серия $x = arcctg a + π k$ ; сводить котангенс к тангенсу через обратную величину — стандартный первый шаг, но внимательно с точками разрыва: они у функций разные.

ctg t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{1}{tg t}; tg t \cdot ctg t = 1; ctg (t + π) = ctg t

определение, взаимность с тангенсом и общий период

Частые вопросы

Где у котангенса разрывы, а где нули?

Разрывы там, где синус нулевой: в точках $π k$ — функция определена через деление на синус. Нули — где косинус нулевой: в $\frac{π}{2} + π k$ . Всё зеркально тангенсу: у него разрывы в $\frac{π}{2} + π k$ , нули в $π k$ . Запомнить помогает взаимность: что у одного ноль, у другого асимптота.

Зачем нужен котангенс, если есть тангенс?

Часто он компактнее: в треугольниках с углами при вертикали, в таблицах старых задачников, в формуле площади через две стороны и угол. В преобразованиях пара tg–ctg даёт симметричные записи одного факта, а тождество $tg t \cdot ctg t = 1$ — быструю замену одной функции другой.