🎲 Тервер

Интегральная теорема Муавра—Лапласа

англ. Integral De Moivre–Laplace theorem

Приближение для диапазона успехов: P(a ≤ k ≤ b) ≈ Φ((b − np)/√npq) − Φ((a − np)/√npq), где Φ — функция Лапласа. Заменяет суммирование десятков биномиальных слагаемых двумя вычитаниями.

Вопросы «не меньше $90$ бракованных», «частота орлов отличается от половины не больше чем на $0, 03$ » — про диапазоны значений, и складывать десятки локальных слагаемых не хочется. Интегральная теорема Муавра—Лапласа утверждает: при больших $n$ вероятность получить от $a$ до $b$ успехов равна $Φ (x_{2}) - Φ (x_{1})$ , где $x_{1} = (a - n p) / n pq$ , $x_{2} = (b - n p) / n pq$ , а $Φ$ — функция Лапласа, интеграл нормальной плотности. Теорема перекладывает всю комбинаторную сумму схемы Бернулли из урока испытания Бернулли на плечи табличной функции — две строки вместо страницы выкладок.

Считаем: вероятность брака $0, 1$ , партия $400$ деталей. Шанс, что бракованных от $30$ до $50$ : $n p = 40$ , $n pq = 6$ , $x_{1} = - 1, 67$ , $x_{2} = 1, 67$ , $P \approx 2Φ (1, 67) = 2 \cdot 0, 4525 = 0, 905$ . Второй сюжет — отклонение частоты: при $10000$ бросках монеты каков шанс, что доля орлов уйдёт от $0, 5$ больше чем на $0, 01$ ? Отклонение в числе орлов $100$ , стандарт $n pq = 50$ , $x = 2$ , и $P (∣ m / n - 0, 5∣ \geq 0, 01) \approx 2 (1 - Φ (2)) = 0, 0456$ . Те же таблицы, что в уроке нормальное распределение, — это и есть нормаль в дискретной одежде.

P (a \leq X_{n} \leq b) \approx Φ (\frac{b - n p}{n pq}) - Φ (\frac{a - n p}{n pq})

интегральная теорема Муавра—Лапласа: вероятность диапазона успехов через функцию Лапласа Φ

Частые вопросы

Чем интегральная теорема отличается от локальной?

Объектом расчёта. Локальная даёт вероятность одного значения $k$ через плотность $φ$ ; интегральная — вероятность интервала $[a, b]$ через функцию Лапласа $Φ$ . Они стыкуются: сумма локальных слагаемых по диапазону примерно равна интегральной разности. В задаче маркер простой: слово «ровно» — локальная; «от… до», «не менее», «не более», «отклоняется не больше чем на» — интегральная.

Зачем поправка на непрерывность?

Биномиальная величина прыгает по целым числам, а нормальное распределение непрерывно, и границы стыкуются неточно: вероятность «от 30 до 50 включительно» точнее считать как интервал от $29, 5$ до $50, 5$ . В учебных ответах поправку часто опускают, но при узких диапазонах или $n$ порядка десятков она двигает третью значащую цифру. В контроле качества деталей это разница между «партия принята» и «партия забракована», так что при серьёзных расчётах поправку ставят.