Формула полной вероятности

Формула полной вероятности связывает вероятность события с вероятностями при разных «сценариях». Пусть события-гипотезы $H_1,\dots ,H_n$ образуют полную группу: они несовместны (не случаются одновременно) и покрывают всё — одно из них обязательно происходит. Тогда вероятность события $A$ равна сумме произведений: шанс каждой гипотезы умножается на условную вероятность $A$ при этой гипотезе. Иными словами, $P(A)$ — средневзвешенное условных вероятностей, где веса — априорные вероятности сценариев.

Интуиция — дерево сценариев. Из корня выходят гипотезы с их вероятностями, из каждой гипотезы — ветки «событие $A$ произошло / не произошло» с условными вероятностями. Вероятность $A$ — сумма вероятностей всех веток, ведущих к $A$: путь «сначала $H_i$, потом $A$» имеет вероятность $P(H_i)P(A\mid H_i)$ по теореме умножения. Формула лишь сокращает это суммирование по листьям дерева.

Классические клиенты формулы — детали с нескольких заводов с разным процентом брака, урны с перекладыванием шаров, медицинские тесты в связке с формулой Байеса. Там гипотезы — «деталь с первого/второго/третьего станка», а событие — «деталь бракованная». Полная вероятность — первый шаг: общий шанс брака; Байес — второй: перевернуть условие и понять, из какого цеха скорее всего пришёл брак.

Пример. Первый станок выпускает 60% деталей с долей брака 2%, второй — 40% с долей брака 5%. Гипотезы: $H_1$ — деталь с первого станка, $H_2$ — со второго; проверка: $0.6+0.4=1$. Тогда $P(\text{брак})=0.6\cdot 0.02+0.4\cdot 0.05=0.012+0.020=0.032$ — заметно выше, чем брак первого станка: вес «плохого» сценария сдвигает среднее вверх.

Условия, на которых стоит формула, — в уроке условная вероятность, обращение формулы — в уроке формула Байеса. Карточки терминов: условная вероятность и формула Байеса. Практика — разбор как решать задачи на вероятность и тренажёр вероятности.