💡 Оптика

Дифракционная решётка

англ. Diffraction grating

Система из многих щелей с периодом d, раскладывающая свет по длинам волн: главные максимумы по условию d·sin φ = kλ; основной инструмент спектрального анализа.

Одна щель размазывает свет, но многие щели, стоящие строго в ряд, договариваются: волны от соседних усиливают друг друга лишь под избранными углами. Дифракционная решётка — периодическая структура из $N$ щелей с шагом $d$ ; условие главных максимумов: $d sin φ = k λ$ , где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ — порядок спектра. Между максимумами свет гасится — до $N - 1$ добавочных минимумов между соседними главными, поэтому при тысячах щелей линии получаются тонкими и яркими. Белый свет решётка разлагает: красный ( $700$ нм) отклоняет сильнее фиолетового ( $400$ нм) — в отличие от призмы, «обратно», и честно линейно по длине волны. Физика явления — в уроке дифракция света.

Типовой расчёт: у решётки $100$ штрихов на миллиметр, значит $d = 10$ мкм. Первый максимум зелёной линии $λ = 550$ нм сидит под $sin φ = 5500 \cdot 1 0^{- 10} /1 0^{- 5} = 0, 055$ , то есть $φ \approx 3, 2^{\circ}$ — угол маленький, поэтому на школьной установке решётку ставят метрах в двух от экрана. Максимальный порядок спектра ограничен: $k \leq d / λ$ , для нашего случая — до $18$ порядков. Разрешающая способность растёт с числом штрихов $R = k N$ : миллион щелей различит дублеты натрия, которые глазу сливаются. Спектроскопия, CD-диск как отражательная решётка, лазерные очки — применения одной идеи. Зоны Френеля и волновая картина — в уроке зоны Френеля.

d sin φ = k λ, d = \frac{1}{n _{штр}}, R_{разр} = k N

условие главных максимумов; период решётки через число штрихов на единицу длины; разрешающая способность

Частые вопросы

Как найти длину волны света с помощью решётки?

Измерьте расстояние $L$ от решётки до экрана и координату $x$ максимума порядка $k$ от центра; синус угла приближённо равен $tan φ = x / L$ при малых углах. Дальше $λ = d sin φ / k = d x / (k L)$ . Пример: $d = 10$ мкм, второй максимум на $x = 11$ см при $L = 2$ м дают $λ = 1 0^{- 5} \cdot 0, 11/2 \approx 550$ нм. Источник ошибки главный — центр максимума: смотрите на середину полосы, а не на край.

Почему при увеличении числа щелей спектральные линии становятся тоньше?

Между главными максимумами возникает $N - 1$ добавочных минимумов: волны от $N$ щелей взаимно гасятся во всех направлениях, кроме избранных. Чем больше щелей, тем круче пик и уже его ширина — как резонанс с высокой добротностью. Энергия при этом не теряется, а концентрируется в тонких линиях, и две соседние длины волны перестают перекрываться. Именно поэтому настоящие спектральные приборы — это решётки с сотнями тысяч штрихов, а не пара щелей из задачника.