🌊 Диффуры

Автономное дифференциальное уравнение

Q: Что значит «автономное» в названии?

Уравнение не зависит от времени: правая часть $f(y)$ не содержит $t$ явно. Из этого следует мощное свойство сдвига: если $y(t)$ — решение, то $y(t - t_0)$ тоже решение с тем же поведением, просто начатое позже. Именно поэтому у автономных систем нет «привилегированных моментов», а вся динамика зашита в геометрии векторного поля на фазовом пространстве. Неавтономные уравнения этим не обладают: там точка старта по времени меняет всё.

англ. Autonomous ODE

Уравнение y′ = f(y): правая часть не зависит от времени; решения сдвигаются вдоль оси времени, а поведение целиком определяется точками равновесия f(y) = 0.

Автономное уравнение — уравнение $y^{'} = f (y)$ , правая часть которого зависит только от неизвестной, но не от времени. Физический смысл: законы мира не меняются со временем, поэтому решение, начав движение позже, повторяет прежнее с точностью до сдвига — семейство решений инвариантно относительно $t \mapsto t + c$ . Разделяющиеся переменные решают его сразу: $\int d y / f (y) = t + C$ . Главные объекты — точки равновесия $f (y) = 0$ , где решение стоит на месте. Обстановка фазовых картин — в уроке фазовые траектории, количественная теория — в материале устойчивость решений.

Автономность позволяет судить об устойчивости, не решая уравнение. На фазовой прямой расставляем знаки $f$ : слева от равновесия положительна, справа отрицательна — траектории сходятся, равновесие устойчиво; наоборот — неустойчиво (источник); знаки одинаковы — полустабильная точка. Классика жанра — логистическое уравнение $y^{'} = k y (1 - y / M)$ : ноль неустойчив, ёмкость $M$ устойчива, и вся динамика популяции читается по знакам без интегралов. Формально время интегрируется, но качественная теория часто нужнее — она и есть место, где автономные уравнения раскрываются.

y^{'} = f (y) \Rightarrow \frac{d y}{f ( y )} = d t, f (y^{*}) = 0 — равновесие

разделение переменных даёт неявное решение; равновесия — нули правой части, их устойчивость читается по знакам f вокруг

Частые вопросы

Что значит «автономное» в названии?

Уравнение не зависит от времени: правая часть $f (y)$ не содержит $t$ явно. Из этого следует мощное свойство сдвига: если $y (t)$ — решение, то $y (t - t_{0})$ тоже решение с тем же поведением, просто начатое позже. Именно поэтому у автономных систем нет «привилегированных моментов», а вся динамика зашита в геометрии векторного поля на фазовом пространстве. Неавтономные уравнения этим не обладают: там точка старта по времени меняет всё.

Как по функции f(y) определить устойчивость равновесия?

Посмотреть на знаки $f$ по обе стороны от корня. Если $f > 0$ слева и $f < 0$ справа, траектории упираются в равновесие с обеих сторон — оно асимптотически устойчиво; обратная расстановка даёт неустойчивость; одинаковые знаки — полуустойчивая точка. Формальный критерий через производную согласуется с этим: $f^{'} (y^{*}) < 0$ — устойчиво, $> 0$ — нет. Для практики важно, что знак расстановки читается с черновика за секунды, без единого интеграла.