🧭 ТФКП

Аргумент комплексного числа

англ. Argument of a complex number

Угол между положительной вещественной осью и радиус-вектором точки z; определён с точностью до 2πk, главное значение берут в интервале (−π, π].

Аргумент комплексного числа $z = x + i y$ — угол $φ$ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором точки $z$ . Записывают $Arg z = φ + 2 π k$ : угол определён с точностью до полного оборота, потому что все точки на одном луче — это одно число. Главное значение $ar g z$ выбирают в интервале $(- π, π]$ . Формула $tan φ = y / x$ работает лишь при учёте четверти: точки $(1, 1)$ и $(- 1, - 1)$ дают одинаковый тангенс, но разные углы. Всё про формы записи и действия — в уроке формы записи и действия.

Смысл аргумента в том, что он превращает умножение в сложение углов: $Arg (z_{1} z_{2}) = Arg z_{1} + Arg z_{2}$ с точностью до $2 π$ . Именно поэтому степени $e^{i φ}$ просто бегут по единичной окружности, а формулы двойных и тройных углов выводятся одной строкой. Практический совет: аргумент удобно считать через пары (модуль, знак координат) или функцию atan2, которая сама разбирается с четвертями; для «красивых» чисел вроде $1 + i 3$ достаточно помнить таблицу синусов. Пара «модуль плюс аргумент» полностью задаёт число — это и есть тригонометрическая форма.

z = r (cos φ + i sin φ), Arg z = φ + 2 π k, ar g z \in (- π, π]

аргумент многозначен: один и тот же угол плюс любое число полных оборотов; главное значение — одна ветка

Частые вопросы

Почему аргумент многозначен и что с этим делать?

Потому что поворот на полный угол возвращает точку на место: число $z$ не «помнит», сколько оборотов совершил радиус-вектор. Математически удобно держать полный набор $Arg z = φ + 2 π k$ — он нужен при извлечении корней, когда разные ветки дают разные значения, и в логарифме $ln z = ln ∣ z ∣ + i Arg z$ . Для простых вычислений фиксируют главное значение $ar g z \in (- π, π]$ и оговаривают это отдельно.

Как быстро найти аргумент без калькулятора?

Опираться на опорные углы и четверти. Привести число к виду $r (cos φ + i sin φ)$ по знакам координат: правая верхняя четверть даёт $φ = arctan (y / x)$ , левая — добавит $π$ , нижняя — минус. Полезно помнить несколько точных значений: $1 + i$ под углом $4 5^{\circ}$ , $1 + i 3$ под $6 0^{\circ}$ , $3 + i$ под $3 0^{\circ}$ . Для проверки годится правило: сумма аргументов числа и его сопряжённого равна нулю, а у чисто мнимых чисел аргумент — $\pm π /2$ .