Апостериорная вероятность
англ. Posterior probability
Вероятность гипотезы после того, как опыт дал результат: пересчитанная по формуле Байеса из априорной. Априорная — «до наблюдения», апостериорная — «после наблюдения».
У каждой гипотезы в задаче есть две жизни: до опыта и после. Априорная вероятность — то, что мы думаем о гипотезе, не глядя на данные: доля бракованных станков на заводе, частота болезни в популяции. Апостериорная — пересмотренная оценка после того, как наблюдение состоялось: тест дал положительный результат, деталь оказалась с дефектом. Пересчёт делает формула Байеса: апостериорная вероятность пропорциональна априорной, умноженной на то, насколько хорошо гипотеза объясняет наблюдение. Это условная вероятность в её самом полезном применении — см. урок формула Байеса.
Медицинский тест, который удивляет половину медиков: болезнь есть у людей, тест ловит её в случаев, но и у здоровых даёт ложную тревогу в . Тест положительный — какова вероятность болезни? По Байесу: числитель , знаменатель , итого . Меньше процентов! Причина — редкая болезнь: априорные здоровых порождают целое море ложных срабатываний. Численно это видно по пуассоновскому счёту ложных тревог — см. приближение Пуассона. Байесовский пересчёт в две строки — в шпаргалке.
Частые вопросы
Чем апостериорная вероятность отличается от условной?
Условная вероятность — общая конструкция: отвечает на «какова вероятность при известном ». Апостериорная — та же конструкция в конкретной роли: — гипотеза, — наблюдённые данные. То есть апостериорная вероятность всегда условная, но не всякая условная вероятность про «пересмотр мнения». Формула одна — Байеса; различие в том, что в байесовской картине априорные вероятности гипотез задаются сознательно и пересчитываются цепочкой при каждом новом наблюдении.
Почему при положительном тесте вероятность болезни может быть мала?
Потому что знаменатель формулы Байеса собирает всех, кто дал положительный тест, а таких среди здоровых огромный запас: при заболеваемости и ложной тревоги ложных срабатываний впятеро больше, чем истинных. Апостериорная вероятность зависит не только от качества теста, но и от априорной частоты. Практический вывод: скрининг редких болезней дешёвым тестом даёт поток ложных диагнозов, поэтому положительный результат подтверждают вторым, независимым тестом.