🎲 Тервер

Геометрическая вероятность

англ. Geometric probability

Вероятность события как отношение меры «удачной» области к мере всей области: длин, площадей или объёмов. Спасает, когда исходов бесконечно много и классическая формула m/n не работает.

Бросаем точку на отрезок, в квадрат, в круг: исходов уже бесконечно много, и делить $m$ на $n$ бессмысленно. Выход — заменить счёт исходов измерением геометрии. Геометрическая вероятность: если точка падает в область $G$ равномерно, то шанс попасть в подобласть $g$ равен отношению мер — длин, площадей или объёмов: $P = mes (g) / mes (G)$ . Тот же приём спасает задачи, где случайность прячется во времени: моменты прихода двух людей, момент поломки, момент звонка. Определение не требует симметрии конечного набора — только равномерности распределения, о которой в задаче должно быть сказано прямо.

Классика — задача о встрече: двое обещают прийти в течение часа и ждать друг друга $10$ минут. Моменты прихода — точка $(x, y)$ в квадрате $60 \times 60$ ; встреча случится, если $∣ x - y ∣ \leq 10$ . Неудачные точки лежат в двух угловых треугольниках со сторонами $50$ , их суммарная площадь $2 \cdot 5 0^{2} /2 = 2500$ при площади квадрата $3600$ . Значит, $P = 1 - 2500/3600 = 11/36 \approx 0, 306$ . Заметно меньше половины — интуиция обычно завышает. Похожая по духу игла Бюффона даёт оценку числа $π$ через случайные бросания; формулы обоих сюжетов собраны в шпаргалке по вероятностям.

P (A) = \frac{mes ( g )}{mes ( G )} = \frac{l _{g}}{l _{G}} = \frac{S _{g}}{S _{G}} = \frac{V _{g}}{V _{G}}

мера выбирается по размерности задачи: длина для отрезков и времени, площадь для плоскости, объём для трёхмерных областей

Частые вопросы

Чем геометрическая вероятность отличается от классической?

Механика та же — доля «удачного» в общем, — но вместо конечного счёта исходов берётся мера области. Классическая вероятность живёт в дискретном мире: шесть граней, 36 карт. Геометрическая — там, где исходы образуют континуум, и «пересчитать» их нельзя в принципе. Обе схемы требуют равновозможности, только в геометрическом случае она означает равномерное распределение точки по области, а не симметрию набора.

Что такое парадокс Бертрана?

Это демонстрация того, что фраза «случайная хорда окружности» недостаточна для ответа: в зависимости от способа задания случайной хорды (случайный конец, случайная середина, случайный сдвиг) вероятность того, что хорда длиннее стороны вписанного треугольника, выходит $1/3$ , $1/2$ или $1/4$ . Парадокс учит главному: в задачах с бесконечными исходами правило случайного выбора надо уточнять явно. Одна и та же геометрия с разными мерами — три разные задачи.