🎲 Тервер

Вероятность хотя бы одного события

Q: Как найти вероятность ровно одного события из нескольких?

Через формулу Бернулли: $P_n(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. Для ровно одного попадания при $p = 0{,}4$, $n = 3$: $\binom{3}{1} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^2 = 3 \cdot 0{,}144 = 0{,}432$. Разница с «хотя бы одним» ($0{,}784$) — это вклад событий «два попадания» и «три попадания». Если события зависимы (выбор без возвращения), независимости нет и нужен гипергеометрический подсчёт, а не простое возведение в степень.

англ. Probability of at least one event

Вероятность «хотя бы одного успеха» находят через противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Приём превращает громоздкое объединение событий в одно умножение.

Фраза «хотя бы один» в задаче — сигнал к применению главного приёма курса. Прямой подсчёт через объединение событий распухает мгновенно: для трёх событий уже $P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) - P (A_{1} A_{2}) - \dots$ , а для пяти слагаемых десяток. Вместо этого берут противоположное событие. «Хотя бы одно попадание» — это «не ноль попаданий», и его дополнение звучит проще некуда: «все мимо». А вероятность совместного появления независимых событий — произведение. Отсюда рабочая формула $P (хотя бы одно) = 1 - P (ни одного) = 1 - q^{n}$ для $n$ независимых попыток с вероятностью неудачи $q = 1 - p$ . Подробнее про операции над событиями — в уроке условная вероятность.

Числа: стрелок бьёт с вероятностью $p = 0, 4$ , делает три выстрела. Вероятность промаха $q = 0, 6$ , все три промаха $0, 6^{3} = 0, 216$ , значит $P = 1 - 0, 216 = 0, 784$ . Теперь цех: вероятность брака у детали $0, 1$ , взяли $5$ штук. Хотя бы одна бракованная: $1 - 0, 9^{5} = 1 - 0, 59049 = 0, 40951$ — больше сорока процентов, хотя брак «всего» один на десять. Обратите внимание, как быстро $1 - q^{n}$ растёт с $n$ : при $n = 10$ выходит $0, 65$ , при $n = 22$ — за $0, 9$ . Обратный сюжет «ровно одно событие» считается иначе — через биномиальные вероятности; обе формулы лежат в шпаргалке.

P (хотя бы одно) = 1 - P (\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \dots \overline{A_{n}}) = 1 - q_{1} q_{2} \dots q_{n}

переход к противоположному событию: «хотя бы одно» превращается в произведение вероятностей «ни одного»

Частые вопросы

Почему нельзя просто сложить вероятности событий?

Сложение учитывает каждое событие по отдельности, но совместные появления попадают в сумму по несколько раз: события «два попадания» и «три попадания» оба входят в «хотя бы одно». Формула сложения требует вычитания всех пересечений, и для трёх и более событий запись разрастается. Переход к противоположному событию обходит всю комбинаторику: «ни одного» — единственный простой исход, его вероятность считается одним произведением.

Как найти вероятность ровно одного события из нескольких?

Через формулу Бернулли: $P_{n} (k) = (k n) p^{k} q^{n - k}$ . Для ровно одного попадания при $p = 0, 4$ , $n = 3$ : $(1 3) \cdot 0, 4 \cdot 0, 6^{2} = 3 \cdot 0, 144 = 0, 432$ . Разница с «хотя бы одним» ( $0, 784$ ) — это вклад событий «два попадания» и «три попадания». Если события зависимы (выбор без возвращения), независимости нет и нужен гипергеометрический подсчёт, а не простое возведение в степень.