Как найти площадь криволинейной трапеции: пошаговые задачи

Теория криволинейной трапеции умещается в одну формулу $S={\int }_a^{b}f(x)dx$, но в задачах четыре места, где теряют баллы: не те пределы, знак под осью, перепутанные верх-низ у двух кривых и обратная задача «найдите границу по площади». Здесь разобраны по одной задаче на каждую ловушку — с полной арифметикой и проверкой ответа на глаз. Определение и вывод формулы — в материале площадь криволинейной трапеции, обзор всех формул площади — на площади фигуры через интеграл.

1. 1
   Нарисуйте эскиз: график, ось, границы. Без картинки ни одна задача площади не решается надёжно.
2. 2
   Определите пределы $a$ и $b$: из условия или как точки пересечения кривых (решите $f(x)=g(x)$).
3. 3
   Проверьте знак функции на отрезке. Всё над осью — интеграл напрямую; есть заход под ось — режьте по нулям или берите модуль.
4. 4
   Найдите первообразную (таблица — в шпаргалке интегралов) и посчитайте $F(b)-F(a)$.
5. 5
   Проверьте ответ оценкой: площадь обязана быть неотрицательной и не больше площади описывающего прямоугольника $(b-a)\cdot \max |f|$.

Задача 1. Базовая трапеция: парабола на отрезке#

Условие. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком $f(x)=6x-x^2$, осью $Ox$ и прямой $x=3$.

Эскиз и пределы. Парабола с ветвями вниз, нули $x=0$ и $x=6$, вершина в точке $(3;9)$. На $[0;3]$ функция неотрицательна и растёт до вершины — фигура под графиком от нуля до трёх. Левая граница — ноль параболы, правая задана прямой $x=3$.

Проверка на глаз. Прямоугольник $3\times 9$ (ширина три, высота вершины девять) имеет площадь 27; парабола вырезает из него ровно две трети — 18. Числа и картинка согласны. Обратите внимание, как линейность освободила от мучительного счёта: два табличных интеграла почленно, без единой замены переменной. Похожие тренировочные задачи генерирует тренажёр интегралов.

Задача 2. Фигура между кривыми: парабола против прямой#

Условие. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2$ и $y=2x$.

Пределы — точки пересечения. Решаем $x^2=2x$: $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$. На $(0;2)$ прямая $2x$ идёт выше параболы (проверка точкой $x=1$: $2>1$) — она верхняя кривая.

Проверка. Описывающий прямоугольник $2\times 4$ имеет площадь 8; фигура заняла $\frac{4}{3}\approx 1,33$ — шестую часть, что похоже на правду: серп между прямой и параболой узкий. Типичная ошибка здесь — написать $x^2-2x$ и получить $-\frac{4}{3}$: модуль спасает число, но лучше сразу выписать «верхняя минус нижняя» по эскизу. Отрицательная площадь в ответе — всегда сигнал перепутанных кривых, а не «особенность задачи».

Задача 3. Заход под ось: синус на двух периодах половины#

Условие. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком $f(x)=\sin x$, осью $Ox$ и прямой $x=2\pi$.

Ловушка. На $[0;\pi ]$ синус над осью, на $[\pi ;2\pi ]$ — под. «В лоб» интеграл даёт ноль: положительный горб точно съедается отрицательным. Ноль — не площадь! Режем по нулю функции $x=\pi$ и складываем площади кусков.

Проверка и мораль. Симметрия: горб и впадина одинаковы, $S=2\cdot 2=4$. Если бы спрашивалось перемещение (в терминах скорости) — ответ был бы ноль; площадь и интеграл совпадают только над осью. Различие «интеграл против площади» разобрано теоретически на странице криволинейной трапеции; аналогичную механику «модуля скорости» видели задачи о пути в разборе пути при переменной скорости.

Задача 4. Обратная задача: найдите границу по площади#

Условие. При каком $a>0$ площадь фигуры под графиком $f(x)=x^2$ от $x=0$ до $x=a$ равна $9$?

Решение. Площадь как функция правой границы: $S(a)={\int }_0^a{x}^{2}dx=\frac{a^3}{3}$. Уравнение $\frac{a^3}{3}=9$ даёт $a^3=27$, то есть $a=3$. Проверка прямой подстановкой: ${\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{27}{3}=9$ — совпало с задачей 1 из обзорной страницы, где этот же интеграл считался напрямую.

Что здесь нового. Площадь оказалась функцией предела — это и есть интеграл с переменным верхним пределом, его производная по верхнему пределу возвращает подынтегральную функцию (основная теорема анализа: $S^{\prime }(a)=f(a)$). Обратные задачи «найдите границу/параметр» встречаются в экономике (до какого объёма выпуска прибыль накопит заданную сумму) и физике (за какое время путь достигнет значения). Решаются всегда одинаково: площадь как функция, уравнение, отбор корня по условию ($a>0$ отсёк комплексные и отрицательные).

Четыре ошибки, которые стоят баллов#

1. Пределы «по памяти», а не по пересечению. В задачах между кривыми границы — корни уравнения $f=g$, найденные решением. Взятые «на глазок» пределы режут фигуру не там: часть площади теряется, лишняя прихватывается.
2. Перепутанные верх и низ. Полоска имеет высоту «верхняя минус нижняя». Без эскиза легко написать $x^2-2x$ вместо $2x-x^2$ и получить отрицательную «площадь» — проверяющий видит это сразу.
3. Знак под осью. Функция нырнула под ось — интеграл куска стал отрицательным. Лечится разрезом по нулям функции: на подосевых кусках интегрируется $-f(x)$ (или берётся модуль целиком).
4. Ответ без проверки. Площадь обязана быть неотрицательной и не больше описывающего прямоугольника. Десять секунд оценки ловят девять из десяти арифметических описок: $\frac{4}{3}$ для серпа между $2x$ и $x^2$ правдоподобно, $40$ — нет.

Отдельно про оформление: на экзамене формула площади выписывается до подстановки пределов, затем первообразная, и только потом числа. Такой порядок читается как рассуждение, а не как «взяли из решебника»: видно, что пределы обоснованы пересечением, знак отслежен, первообразная верна. В задачах с параметром к этому добавляется обоснование отбора корня: почему $a=3$, а не второй корень или отрицательное значение. Наш решатель интегралов показывает именно эту цепочку шагов — сверяйте своё оформление с ним.