🔌 Электротехника

Законы Кирхгофа

англ. Kirchhoff's laws

Два правила расчёта разветвлённых цепей: в узле сумма токов равна нулю (заряд не копится), в контуре сумма ЭДС равна сумме падений напряжения; система линейных уравнений решает любую цепь.

Закон Ома описывает один участок, но реальная цепь — это узлы, ветви и контуры. Первый закон Кирхгофа — бухгалтерия заряда: сколько тока втекает в узел, столько и вытекает, $\sum I = 0$ ; заряд в узле копиться не может. Второй закон — бухгалтерия энергии: обходя замкнутый контур, суммарная ЭДС равна сумме падений напряжения, $\sum ε = \sum I R$ ; вернулись в исходную точку — потенциал тот же. Вместе они превращают любую, сколь угодно ветвистую цепь в систему линейных уравнений: для $n$ токов — $n$ уравнений, решаемых хоть методом Гаусса. Это аксиомы схемотехники: из первого закона растёт метод узловых потенциалов, из второго — метод контурных токов; правило делителя токов и делителя напряжения — тоже их следствия. Классификация методов — в уроке методы расчёта цепей, базовый закон — в терминах закон Ома.

Рабочий алгоритм: проставьте произвольные направления токов (ошиблись — знак исправит ответ), запишите $У - 1$ уравнений узлов и $З - У + 1$ контурных уравнений ( $У$ — число узлов, $З$ — ветвей), держите одинаковый обход контура. Пример-минимум: два источника $ε_{1} = 10$ В с $r_{1} = 1$ Ом и $ε_{2} = 4$ В с $r_{2} = 1$ Ом питают общую нагрузку $R = 8$ Ом; узел даёт $I_{1} + I_{2} = I$ , два контура — $10 = 9 I_{1} + 8 I$ и $4 = 9 I_{2} + 8 I$ ... аккуратный счёт даёт $I_{1} \approx 1, 16$ А, $I_{2} \approx - 0, 04$ А: второй источник на самом деле потребляет — знак минус вскрыл реальное направление, именно за это и любят метод. В цепях переменного тока те же законы работают в комплексной форме — с сопротивлениями-импедансами и фазорами, см. метод комплексных амплитуд и синусоидальный ток; энергетические следствия (cos φ, потери) собраны в терминах коэффициент мощности.

k \sum I_{k} = 0, \sum ε = \sum I R

первый закон для узла; второй для контура; знаки — по выбранным направлениям токов и обходу

Частые вопросы

Как правильно выбрать знаки при записи уравнений Кирхгофа?

Договоритесь и не отступайте: токи к узлу — плюс, от узла — минус (или наоборот, главное единообразно); при обходе контура падение $I R$ берётся с плюсом, если ток сонаправлен обходу, ЭДС — с плюсом, если она гонит ток по обходу. Отрицательный ответ для какого-то тока — не ошибка, а информация: реальное направление противоположно предположенному. Сверьтесь балансом мощностей: сумма $arepsilon I$ источников должна равняться сумме $I^{2} R$ всех сопротивлений — расхождение выдаёт знак, потерянный в спешке.

Сколько уравнений нужно составлять и какие именно?

Ровно столько, сколько неизвестных токов — по числу ветвей $З$ . Схема с $У$ узлами даёт $У - 1$ независимых узловых уравнений (последнее — их следствие) и $З - У + 1$ независимых контурных. Практический приём: узлы выбирайте любые, контуры — «ячеистые», каждый новый должен захватывать хотя бы одну новую ветвь. Лишние уравнения не вредят, но и не помогают — их итог противоречий нулевой, а времени съедают прилично; в больших схемах вместо лобовой системы берут метод узловых потенциалов — тот же первый закон, записанный через потенциалы.