🎲 Тервер

Центральная предельная теорема (теорема Линдеберга—Леви)

англ. Central limit theorem (Lindeberg–Lévy)

Нормированная сумма независимых одинаково распределённых слагаемых стремится к стандартному нормальному распределению: (ΣXᵢ − nμ)/(σ√n) → N(0,1). Причина вездесущности колоколообразных кривых.

Сложите ошибки десятков измерений, вклады тысяч клиентов, остатки сотен партий — суммы выглядят колоколом почти независимо от природы слагаемых. Центральная предельная теорема объясняет это. В форме теоремы Линдеберга—Леви: если $X_{1}, \dots, X_{n}$ независимы, одинаково распределены, $E X = μ$ , $D X = σ^{2} > 0$ , то нормированная сумма $Z_{n} = (\sum X_{i} - n μ) / (σ n)$ сходится по распределению к стандартной нормальной величине. Слово «по распределению» означает совпадение формы при больших $n$ , а не значений. Отсюда статус ЦПТ как рабочего инструмента: любое усреднение большой группы тянет за собой нормальность. Разбор схемы — в уроке центральная предельная теорема.

Числовой пример: деталь бракуется с вероятностью $p = 0, 2$ , взято $n = 400$ штук. Число бракованных $X$ имеет $E X = 80$ , $σ = n pq = 8$ . Шанс найти не меньше $90$ бракованных: с поправкой на непрерывность $Z = (89, 5 - 80) /8 = 1, 19$ , итого $P \approx 1 - Φ (1, 19) \approx 0, 12$ . Порог применимости — $n pq \geq 10$ : здесь $64$ , запас хороший; для средних обычно хватает $n \geq 30$ . Именно через ЦПТ работает нормальное приближение биномиальных схем, а колокол из урока нормальное распределение становится универсальной моделью сумм.

Z_{n} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{σ n} = \frac{X ˉ _{n} - μ}{σ / n} d N (0, 1)

ЦПТ в форме Линдеберга—Леви: нормированная сумма или среднее при больших n распределены почти стандартно нормально

Частые вопросы

Чем форма Линдеберга—Леви отличается от других формулировок ЦПТ?

Она требует одинакового распределения всех слагаемых. Ослабленные версии снимают это условие: теорема Линдеберга допускает разные распределения, пока ни одно слагаемое не доминирует в общей дисперсии, есть варианты и для слабо зависимых величин. Для учебных задач, биномиальных схем и выборочных средних хватает классической формы, а народная формулировка одна: сумма множества мелких независимых вкладов почти нормальна, что бы ни происходило внутри.

Почему приближение «почти», а не точное?

Сходимость лишь по распределению и лишь в пределе: при конечном $n$ остаются расхождения, заметнее всего — в хвостах. Для биномиальной схемы честный расчёт требует поправки на непрерывность: вероятность $X = 90$ считают как интервал от $89, 5$ до $90, 5$ , а точечные вероятности отдельно обслуживает локальная теорема Муавра—Лапласа. Условие $σ^{2} \neq = 0$ тоже существенно: вырожденные, детерминированные слагаемые разброса не создают и колокола не формируют.