Степенной метод

Деньги, разложенные по вкладам с разными ставками, со временем стягиваются к самому доходному: остальное обгоняется и тонет в шуме. Степенной метод делает это с вектором и матрицей. Берём ненулевой $v_0$ и считаем $v_{k+1}=A{v}_k/\Vert A{v}_k\Vert$: умножение на матрицу каждый раз растягивает компоненту вдоль доминирующего направления сильнее остальных, и при $|{\lambda }_1|>|{\lambda }_2|$ направление вектора ползёт к собственному вектору с максимальным по модулю значением ${\lambda }_1$. Само значение достают отношением Рэлея $(Av,v)/(v,v)$; скорость сходимости — с коэффициентом $|{\lambda }_2/{\lambda }_1|$ за итерацию.

Числовой прогон: матрица со строками $(2,1)$ и $(1,2)$ имеет собственные значения $3$ и $1$. Старт $(1,0)$: отношения Рэлея $2$, затем $2.8$, $2.9756$, $2.9973$, $2.9997$ — примесь второго направления делится на три за итерацию, потому что ${\lambda }_2/{\lambda }_1=1/3$. Ограничения видны отсюда же: при близких по модулю собственных значениях сходимость вязнет, а при комплексной паре замирает вовсе; лечится сдвигом спектра $A-\sigma I$. Место метода среди прочих — в уроке собственные значения: численные методы, точная теория — в собственных значениях, объекты — в терминах собственный вектор и диагонализация матрицы.