Пуассоновское приближение биномиального

Формула Бернулли $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$ при $n=1000$ требует возводить числа в тысячные степени и считать тысячные сочетания — вручную безнадёжно. Но если событие редкое ($p$ мало) и испытаний много, выручает теорема Пуассона: при $n\to \infty$, $p\to 0$ так, что $np=\lambda$ фиксировано, биномиальные вероятности переходят в ${\lambda }^k{e}^{-\lambda }/k!$ — формулу распределения Пуассона. Смысл простой: среди тысяч попыток не важно, кто именно и в каком порядке дал сбой, — важен лишь средний счёт неудач $\lambda =np$. Границы применимости по практике: $n\gtrsim 50$, $p\lesssim 0,1$, $np\lesssim 10$; иначе точнее работать с нормальным приближением — см. теорему Муавра—Лапласа.

Пример: завод выпускает $n=500$ деталей в смену, брак с вероятностью $p=0,002$. Среднее число дефектных $\lambda =1$. Вероятность, что брака нет вовсе: по Пуассону $e^{-1}\approx 0,368$; точный биномиальный ответ $0,998^{500}\approx 0,3675$ — совпадение до третьего знака. Ровно две бракованные: $e^{-1}/2!\approx 0,184$. Хотите гарантировать смену без брака в $90\%$ случаев — из $1-e^{-\lambda }\ge 0,9$ выходит $\lambda \le 0,105$, то есть при том же потоке брак надо давить до $p\le 0,00021$. Погрешность приближения растёт с $\lambda$, поэтому при $np>10$ честнее нормальная аппроксимация из ЦПТ.