🌐 Матфизика

Принцип Дюамеля

англ. Duhamel's principle

Сводит неоднородную эволюционную задачу к однородной: источник — поток мгновенных импульсов, решение — интеграл их откликов, состаренных однородным законом.

Принцип Дюамеля сводит неоднородную эволюционную задачу к однородной. Идея: источник $f (x, t)$ — поток мгновенных импульсов; импульс, сработавший в момент $τ$ , дальше живёт по однородным правилам. Решение — интеграл по моментам срабатывания.

u (x, t) = \int_{0}^{t} W (x, t - τ; f (\cdot, τ)) d τ

W

— решение однородной задачи с начальным данным

f (\cdot, τ)

: вклад каждого импульса стареет по однородному закону

t - τ

Для тепла $u_{t} = u_{xx} + f$ это свёртка источника с гауссовым ядром, «выжившим» время $t - τ$ ; для волны — вклад внутри характеристического угла. Выгода организационная: однородную задачу решаем один раз, дальше только интегрируем. Та же логика у фундаментального решения и у уравнения теплопроводности с источником; разбор задач — в уроке неоднородные задачи и метод Фурье.

Частые вопросы

Чем принцип Дюамеля отличается от метода Фурье?

Разными разрезами одного. Фурье раскладывает по собственным функциям: каждая мода получает своё уравнение для коэффициента. Дюамель раскладывает по времени: источник — сумма импульсов, ответ — интеграл откликов. Для постоянного источника Фурье даёт ряд, Дюамель — интеграл; выбирают по удобству, ответ совпадает.

Почему импульсу хватает однородной задачи?

Импульс бесконечно короткий: он успевает только придать решению мгновенный толчок — начальное условие в момент $τ$ . Дальше источник выключен, и решение живёт по однородному уравнению с этим стартом. Осталось просуммировать толчки за всю историю — интегрирование заменяет решение с правой частью.