🧭 ТФКП

Показательная форма комплексного числа

Q: Как перевести число из алгебраической формы в показательную?

Посчитать модуль $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, затем аргумент с учётом четверти: $\tan\varphi = y/x$, но знак поправки зависит от того, в какой четверти лежит точка. Ответ пишется как $r e^{i\varphi}$. Пример: $z = -1 + i$ имеет $r = \sqrt{2}$, точка во второй четверти, $\varphi = 3\pi/4$, значит $z = \sqrt{2}\,e^{3\pi i/4}$. Обратный перевод — по формуле Эйлера: раскрыть экспоненту в косинус и синус.

англ. Exponential form

Запись z = r·e^{iφ}, где r — модуль, φ — аргумент; умножение чисел превращается в умножение модулей и сложение фаз, повороты становятся алгеброй.

Показательная форма записывает комплексное число как $z = r e^{i φ}$ , где $r = ∣ z ∣$ — модуль, $φ = ar g z$ — аргумент, а сама экспонента раскрывается формулой Эйлера $e^{i φ} = cos φ + i sin φ$ . Это та же тригонометрическая форма, только компактнее и с готовой алгеброй: $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (φ_{1} + φ_{2})}$ — модули перемножаются, фазы складываются; деление и возведение в степень управляются так же прозрачно. Переводы между формами и примеры — в уроке формы записи и действия.

Идейно форма кодирует полярные координаты: $r$ — «насколько далеко», $e^{i φ}$ — «в какую сторону». Множитель $e^{i φ}$ — оператор поворота на угол $φ$ без изменения длины, и в этом главное преимущество формы: вращения, колебания и волны записываются экспонентами, а дифференцирование сводится к умножению на $iω$ . Поэтому физика и инженерия говорят на языке $A e^{iω t}$ : комплексные амплитуды, метод комплексных токов, ряды Фурье. Сопряжённое число тоже выглядит изящно: $\overset{z}{ˉ} = r e^{- i φ}$ — та же длина с обратным углом. Базовый объект — в термине комплексное число.

z = r e^{i φ}, \overset{z}{ˉ} = r e^{- i φ}, \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (φ_{1} - φ_{2})}

экспонента держит поворот, коэффициент — длину: арифметика фаз и модулей распадается на независимые действия

Частые вопросы

Зачем нужна показательная форма, если есть алгебраическая?

Потому что задачи разные: складывать числа удобнее по координатам $x + i y$ , а умножать, делить и возводить в степень — по модулю и фазе. Показательная форма делает арифметику поворотов алгеброй: умножение — сложение углов, дифференцирование по времени — умножение на $iω$ . В колебаниях и волнах она сокращает страницы тригонометрии до одной строки. Итого: сложение — алгебраическая форма, всё остальное — показательная.

Как перевести число из алгебраической формы в показательную?

Посчитать модуль $r = x^{2} + y^{2}$ , затем аргумент с учётом четверти: $tan φ = y / x$ , но знак поправки зависит от того, в какой четверти лежит точка. Ответ пишется как $r e^{i φ}$ . Пример: $z = - 1 + i$ имеет $r = 2$ , точка во второй четверти, $φ = 3 π /4$ , значит $z = 2 e^{3 π i /4}$ . Обратный перевод — по формуле Эйлера: раскрыть экспоненту в косинус и синус.