🧭 ТФКП

Оригинал и изображение

англ. Original and image (Laplace transform)

Пара из функции-оригинала f(t) и её изображения F(p) = ∫₀^∞ f(t)e^{−pt}dt: дифференцирование оригинала — это умножение изображения на p, что превращает ДУ в алгебру.

В операционном исчислении оригинал — функция $f (t)$ вещественной переменной $t \geq 0$ , кусочно-непрерывная и растущая не быстрее экспоненты, а изображение — её преобразование Лапласа $F (p) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- pt} d t$ — функция комплексной переменной $p$ . Пара записывается как $f (t) ≒ F (p)$ . Условие экспоненциального роста не педантичность, а страховка сходимости интеграла: при достаточно большом $Re p$ всё сходится. Базовая пара — единичная ступенька и $1/ p$ ; полные таблицы — в материале операция Лапласа и в контексте преобразования Фурье.

Ценность пары — в правилах перехода. Дифференцирование оригинала даёт $f^{'} (t) ≒ pF (p) - f (0)$ : производная превращается в умножение, начальные условия входят автоматически. Смещение, запаздывание, свёртка — каждое свойство соответствует простому действию на $F (p)$ . Отсюда стандартный сценарий решения дифференциального уравнения: перейти к изображениям, решить алгебраическое уравнение, вернуться обратно таблицей или разложением на простые дроби. Классика жанра — $y^{'} + y = 1$ с нулевым начальным условием превращается в $p Y + Y = 1/ p$ , и ответ $y = 1 - e^{- t}$ виден сразу. Операционный метод — излюбленный экзаменационный раздел ТФКП: экономия выкладок колоссальная.

F (p) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- pt} d t, f^{'} (t) ≒ pF (p) - f (0)

переход к изображению и главное правило: производная оригинала — умножение на p с вычетом начального значения

Частые вопросы

Какие функции годятся в оригиналы?

Функции, удовлетворяющие трём условиям: определены при $t \geq 0$ , кусочно-непрерывны на каждом конечном промежутке и растут не быстрее экспоненты — $∣ f (t) ∣ \leq M e^{a t}$ для некоторых $M, a$ . Тогда интеграл Лапласа сходится в полуплоскости $Re p > a$ . Ступенька, экспонента, синус, степенные функции — всё проходит; $e^{t^{2}}$ — нет, растёт слишком быстро. На практике почти все встречающиеся функции сигналов и переходных процессов являются оригиналами.

Как решать дифференциальное уравнение операционным методом?

Три шага. Первый: применить преобразование Лапласа ко всему уравнению, помня, что $y^{'} ≒ p Y - y (0)$ , — получится алгебраическое уравнение с начальными условиями, встроенными автоматически. Второй: выразить $Y (p)$ и разложить на простые дроби. Третий: вернуться к оригиналу по таблице — это и есть решение. Метод особенно силён для уравнений с негладкой правой частью: ступеньки и импульсы в изображениях — просто множители, а не головная боль.