🎲 Тервер

Неравенство Чебышёва

Q: Почему оценка такая грубая и есть ли от неё польза?

Неравенство не заглядывает в форму распределения: хвосты могут быть какими угодно, и оценка обязана выдержать худший случай — отсюда запас. Польза в надёжности вывода: если даже по Чебышёву вероятность мала, она мала гарантированно. Это инструмент доказательств и прикидок, а не точного счёта: для биномиальной схемы точные вероятности дают формула Бернулли и нормальное приближение, а Чебышёв страхует там, где распределение неизвестно вовсе.

Q: Как неравенство доказывает закон больших чисел?

Применим его к среднему $n$ независимых одинаково распределённых величин: $D\bar{X} = DX/n$, и $P(|\bar{X} - \mu| \ge \varepsilon) \le DX/(n\varepsilon^2) \to 0$. Это ровно утверждение закона больших чисел в форме Чебышёва: среднее по растущей выборке сходится к матожиданию. Одно неравенство становится фундаментом всей теории сходимости средних — от стабилизации частоты орлов до обоснования выборочного метода; подробности — в уроке [закон больших чисел](/course/teoriya-veroyatnostey/zakon-bolshih-chisel/).

англ. Chebyshev's inequality

Универсальная оценка разброса без знания распределения: P(|X − EX| ≥ ε) ≤ DX/ε². Работает для любой случайной величины с конечной дисперсией — плата за универсальность это грубость.

Распределение неизвестно, а утверждать о вероятности большого отклонения хочется. Для этого существует неравенство Чебышёва: какова бы ни была случайная величина с матожиданием $a$ и дисперсией $D X$ , вероятность отклониться от центра не меньше чем на $ε$ не превосходит $D X / ε^{2}$ . Двойственная запись удобнее для прикидок: $P (∣ X - a ∣ < ε) \geq 1 - D X / ε^{2}$ — «хорошая» вероятность не меньше этой доли. Платим за универсальность грубостью: оценка редко близка к точной, зато требует лишь двух числовых характеристик. Откуда берутся матожидание и дисперсия — в уроке матожидание и дисперсия.

Числа: монетку бросают $100$ раз, число орлов $X$ имеет $E X = 50$ , $D X = n pq = 25$ . Каков шанс, что орлов выйдет не больше $40$ или не меньше $60$ ? Чебышёв: $P (∣ X - 50∣ \geq 10) \leq 25/100 = 0, 25$ . Точный биномиальный ответ около $0, 057$ — оценка завышена примерно вчетверо, зато получена без единой формулы Бернулли. Второй пример: средний вес детали $100$ г, дисперсия $4$ г². Для среднего по $100$ деталям $P (∣ \overset{ˉ}{X} - 100∣ \geq 2) \leq 4/ (100 \cdot 4) = 0, 01$ — среднее почти наверняка сидит у номинала, и это уже гарантия, а не надежда.

P (∣ X - a ∣ \geq ε) \leq \frac{D X}{ε ^{2}}, P (∣ X - a ∣ < ε) \geq 1 - \frac{D X}{ε ^{2}}

оценка вероятности большого отклонения при неизвестном распределении; a = EX, DX — дисперсия

Частые вопросы

Почему оценка такая грубая и есть ли от неё польза?

Неравенство не заглядывает в форму распределения: хвосты могут быть какими угодно, и оценка обязана выдержать худший случай — отсюда запас. Польза в надёжности вывода: если даже по Чебышёву вероятность мала, она мала гарантированно. Это инструмент доказательств и прикидок, а не точного счёта: для биномиальной схемы точные вероятности дают формула Бернулли и нормальное приближение, а Чебышёв страхует там, где распределение неизвестно вовсе.

Как неравенство доказывает закон больших чисел?

Применим его к среднему $n$ независимых одинаково распределённых величин: $D \overset{ˉ}{X} = D X / n$ , и $P (∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq ε) \leq D X / (n ε^{2}) \to 0$ . Это ровно утверждение закона больших чисел в форме Чебышёва: среднее по растущей выборке сходится к матожиданию. Одно неравенство становится фундаментом всей теории сходимости средних — от стабилизации частоты орлов до обоснования выборочного метода; подробности — в уроке закон больших чисел.