⚡ Электричество

Напряжённость электрического поля

Q: Как связаны напряжённость и потенциал электрического поля?

Напряжённость — это минус градиент потенциала: $\vec{E} = -\operatorname{grad}\varphi$; в одномерном случае $E = -\Delta\varphi/\Delta x$. Физически: поле «дует» из области высокого потенциала в область низкого, а его модуль равен крутизне спуска потенциала. Однородное поле конденсатора с разностью $100$ В между пластинами через $2$ см даёт $E = 5000$ В/м — так считают поля между электродами почти всегда.

англ. Electric field strength

Силовая характеристика поля E = F/q: сила, действующая на единичный положительный заряд; измеряется в В/м, для точечного заряда убывает как квадрат расстояния.

Закон Кулона отвечает «как взаимодействуют заряды», но физику XIX века смутила мгновенность действия через пустоту — и поле оказалось лучше. Напряжённость электрического поля $E$ — сила, действующая на пробный положительный заряд, отнесённая к его величине: $E = F / q$ . Единица — В/м (или Н/Кл, это одно и то же). Поле точечного заряда $E = k q / r^{2}$ убывает квадратично, силовые линии выходят из положительных зарядов и входят в отрицательные. Главный инструмент расчётов — принцип суперпозиции: поле нескольких зарядов есть векторная сумма полей каждого; просуммировать векторы куда проще, чем складывать попарные взаимодействия. Базовый разбор — в уроке напряжённость и потенциал.

Оценка масштабов: заряд $1$ нКл на расстоянии $3$ см даёт $E = 9 \cdot 1 0^{9} \cdot 1 0^{- 9} / (0, 03)^{2} = 1 0^{4}$ В/м — на два порядка больше поля Земли (~ $130$ В/м у поверхности). На заряд $q$ в таком поле действует $F = q E$ ; электрон возле обкладки конденсатора с полем $5$ кВ/м получает ускорение $e E / m \approx 8, 8 \cdot 1 0^{14}$ м/с² — вот почему электронная оптика управляет лучом парами пластин. Для симметричных тел (сфера, нить, плоскость) вместо суммирования удобна теорема Гаусса — см. урок теорема Гаусса, а исходное взаимодействие — в законе Кулона.

E = \frac{F}{q}, E = \frac{k q}{r ^{2}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}}, E = \sum E_{i}

определение через пробный заряд; поле точечного заряда; суперпозиция — векторное сложение полей

Частые вопросы

Как связаны напряжённость и потенциал электрического поля?

Напряжённость — это минус градиент потенциала: $E = - grad φ$ ; в одномерном случае $E = - Δ φ /Δ x$ . Физически: поле «дует» из области высокого потенциала в область низкого, а его модуль равен крутизне спуска потенциала. Однородное поле конденсатора с разностью $100$ В между пластинами через $2$ см даёт $E = 5000$ В/м — так считают поля между электродами почти всегда.

Как найти поле в точке между двумя зарядами?

Считаете поле каждого заряда по формуле точечного, задаёте направления (от «плюса», к «минусу») и складываете как векторы по осям. Между разноимёнными зарядами поля складываются, между одноимёнными на линии — вычитаются: в середине между $+ 2 q$ и $+ q$ поле равно $k q / r^{2}$ в сторону меньшего заряда. Нулевая точка есть только у одноимённых зарядов, и смещена к слабому — уравнение $q_{1} / x^{2} = q_{2} / (d - x)^{2}$ её находит.