Локальная теорема Муавра—Лапласа

Формула Бернулли точна, но при $n=400$ считать $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{400}{210}\right)\cdot 0,5^{400}$ без калькулятора — путь в никуда, а ответ нужен один. Локальная теорема Муавра—Лапласа даёт обход: при больших $n$ биномиальная вероятность $P_n(k)$ приближается значением плотности стандартного нормального распределения в точке $x=(k-np)/\sqrt{npq}$: $P_n(k)\approx \phi (x)/\sqrt{npq}$, где $\phi (x)=e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi }$. Геометрия прозрачна: пик колокола стоит у наивероятнейшего числа успехов $k_0\approx np$, а соседние значения спадают по колоколу с шагом $1/\sqrt{npq}$. Исходная схема разобрана в уроке испытания Бернулли.

Считаем: $400$ бросков монеты, какова вероятность ровно $210$ орлов? Здесь $np=200$, $\sqrt{npq}=10$, $x=(210-200)/10=1$, и $P\approx \phi (1)/10=0,2420/10=0,0242$. Точный подсчёт по формуле Бернулли даёт $0,0244$ — расхождение в четвёртой цифре. А вероятность ровно $200$ орлов: $x=0$, $P\approx 0,3989/10\approx 0,0399$. Обратите внимание: даже наивероятнейший исход случается лишь в $4\%$ серий — колокол при $n=400$ широкий, и его масса размазана по десяткам значений $k$.