🔢 Численные методы

Квадратурная формула трапеций

Q: Когда формула трапеций точна?

Для линейных подынтегральных функций: у них $f'' = 0$, и главный член погрешности исчезает. Для остальных формулу уточняют правилом Рунге ($I \approx \frac{4T_{2n} - T_n}{3}$) или переходят к Симпсону, если доступны значения в серединах отрезков.

англ. Trapezoidal rule

Численное вычисление интеграла заменой графика хордами: ∫ ≈ h/2·(f₀ + 2f₁ + … + 2f_{n−1} + fₙ); погрешность порядка h², точна для линейных функций.

Квадратурная формула трапеций — численный способ вычислить интеграл там, где формула Ньютона–Лейбница бессильна: у подынтегральной функции нет первообразной в элементарных числах ( $e^{- x^{2}}$ , $\frac{s i n x}{x}$ ) или значения известны лишь из таблицы. На каждом отрезке график заменяется хордой, и вместо криволинейной площади считается площадь трапеции: $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ .

Составная формула делит $[a; b]$ на $n$ частей с шагом $h = \frac{b - a}{n}$ и суммирует: $\frac{h}{2} (f_{0} + 2 f_{1} + \dots + 2 f_{n - 1} + f_{n})$ — внутренние узлы входят дважды, как концы соседних трапеций. Погрешность $- \frac{( b - a ) h ^{2}}{12} f^{''} (ξ)$ : удвоение числа узлов уменьшает ошибку вчетверо, а для линейной функции ( $f^{''} = 0$ ) ответ точный. Точнее на тех же узлах работает формула Симпсона — квадратура параболами; а пара $T_{n}$ и $T_{2 n}$ позволяет уточнять ответ правилом Рунге: $I \approx \frac{4 T _{2 n} - T _{n}}{3}$ .

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{2} (f_{0} + 2 k = 1 \sum n - 1 f_{k} + f_{n}), h = \frac{b - a}{n}; R = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{12} f^{''} (ξ)

составная формула и главный член погрешности

Проверь себя+10 XP

Что даёт одна трапеция для $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ ?

Частые вопросы

Почему формулы для интегралов называются квадратурными?

Исторически «квадратура» — построение квадрата, равновеликого заданной фигуре, то есть вычисление площади. Название прилипло ко всем численным формулам для $\int f d x$ ; многомерные аналоги называют кубатурными.

Когда формула трапеций точна?

Для линейных подынтегральных функций: у них $f^{''} = 0$ , и главный член погрешности исчезает. Для остальных формулу уточняют правилом Рунге ( $I \approx \frac{4 T _{2 n} - T _{n}}{3}$ ) или переходят к Симпсону, если доступны значения в серединах отрезков.