🔢 Численные методы

Формула Симпсона

Q: Чем Симпсон лучше трапеций?

Погрешность $O(h^4)$ против $O(h^2)$: при удвоении числа узлов ошибка падает в 16 раз, а не в 4. Плата — нужны значения в серединах отрезков (чётное число интервалов) и существование четвёртой производной в оценке погрешности.

англ. Simpson's rule

Квадратура параболами: ∫ ≈ (b−a)/6·(f(a) + 4f(середина) + f(b)); порядок точности 3 — точна для многочленов вплоть до третьей степени.

Формула Симпсона (метод парабол) — квадратурная формула, заменяющая график функции на отрезке дугой параболы, проведённой через концы и середину: $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b))$ . Три узла однозначно задают параболу, а её интеграл берётся точно — отсюда и вид коэффициентов $1, 4, 1$ с множителем $\frac{b - a}{6}$ .

Неожиданность — в порядке точности: подстановка $1, x, x^{2}, x^{3}$ даёт точные результаты, поэтому ошибка равна $- \frac{( b - a ) ^{5}}{2880} f^{(4)} (ξ)$ — на порядок лучше формулы трапеций при той же плотности узлов. Составная формула требует чётного числа отрезков: $\frac{h}{3} (f_{0} + 4 f_{1} + 2 f_{2} + 4 f_{3} + \dots + f_{n})$ — веса чередуются $1, 4, 2, 4, \dots, 1$ , потому что внутренние узлы служат серединами для одной пары отрезков и краями для соседней. Проверка: $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{6} (0 + 4 \cdot \frac{1}{4} + 1) = \frac{1}{3}$ — точное совпадение с формулой Ньютона–Лейбница.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)); R = - \frac{( b - a ) ^{5}}{2880} f^{(4)} (ξ)

формула Симпсона на одном отрезке и главный член погрешности

Проверь себя+10 XP

Для многочленов какой степени формула Симпсона точна?

Частые вопросы

Чем Симпсон лучше трапеций?

Погрешность $O (h^{4})$ против $O (h^{2})$ : при удвоении числа узлов ошибка падает в 16 раз, а не в 4. Плата — нужны значения в серединах отрезков (чётное число интервалов) и существование четвёртой производной в оценке погрешности.

Откуда берутся веса 1, 4, 2, 4, …, 1?

Каждая пара соседних отрезков покрывается одной параболой с весами $\frac{h}{3} (1, 4, 1)$ . Внутренний узел между парами получает $1 + 1 = 2$ (правый конец одной параболы и левый конец следующей), серединные узлы — вес 4. Складывая, получаем чередование $1, 4, 2, 4, \dots, 1$ .