Ковариационная матрица
англ. Covariance matrix
Матрица Σ, где на диагонали дисперсии случайных величин, вне диагонали — их ковариации. Симметрична и положительно полуопределена; паспорт совместного разброса вектора случайных величин.
Одна случайная величина описывается дисперсией; вектор из величин — ковариационной матрицей : элемент , на диагонали стоят собственные дисперсии , вне диагонали — попарные ковариации. Свойства жёсткие: матрица симметрична (), диагональ неотрицательна, и вся матрица положительно полуопределена — дисперсия любой линейной комбинации не бывает отрицательной, это и есть определение полуопределённости. Ковариационная матрица — тот же парный коэффициент корреляции, но в нестандартизованном виде: она помнит и масштабы величин. В многомерном нормальном распределении она — второй параметр рядом со средним, задающий форму эллипсов рассеяния, см. урок множественная регрессия.
Пример: два актива с дисперсией доходности и (отклонения и ) и ковариацией . Матрица ; корреляция . Дисперсия портфеля «пополам»: — меньше средней из дисперсий : диверсификация работает, потому что активы не ходят в ногу. Если бы ковариация была (корреляция ), дисперсия портфеля вышла бы ровно — полной зависимости разброс не сжимается. Проверка полуопределённости: определитель , обе собственные величины положительны. Подробнее про ковариацию — в терминах ковариация.
Частые вопросы
Почему ковариационная матрица всегда положительно полуопределена?
Потому что она описывает дисперсии, а дисперсия не бывает отрицательной. Для любого вектора коэффициентов величина — тоже случайная величина, и . Это свойство накладывает реальные ограничения на числа: не любая симметричная матрица с неотрицательной диагональю годится в ковариационные — например, имеет корреляцию и определитель меньше нуля, значит, такой пары величин не существует. На практике полуопределённость проверяют через собственные значения: они должны быть неотрицательными.
Чем ковариационная матрица полезнее набора парных ковариаций?
Тем, что это один объект, с которым можно делать матричную алгебру. Многомерное нормальное распределение задаётся парой «вектор средних + » целиком, без выписывания многомерной плотности. Дисперсии любых портфелей, линейных комбинаций, остатков считаются одной квадратичной формой. В регрессии ковариационная матрица оценок коэффициентов сразу даёт доверительные интервалы для всех коэффициентов и их комбинаций. И визуализация: эллипсы рассеяния двумерного нормального направлены по собственным векторам — диагонализация матрицы показывает главные оси разброса данных.