🍎 Механика

Центростремительное ускорение

Q: Почему центростремительное ускорение направлено к центру, а не по движению?

Разложим изменение скорости за малое время $\Delta t$: касательная составляющая меняет модуль, а нормальная — направление. При равномерном обращении модуль не меняется, остаётся только нормальная часть, и предельное направление вектора $\Delta \vec{v}$ — это хорда, стягивающая малую дугу, то есть почти перпендикуляр к скорости. Перпендикуляр к скорости в каждой точке окружности — радиус, и он ведёт к центру.

Q: Как найти центростремительное ускорение через период обращения?

За один период $T$ тело проходит окружность длиной $2\pi R$, значит $v = 2\pi R/T$. Подставляем в $a = v^2/R$ и получаем $a = 4\pi^2 R/T^2$. Проверка на минутной стрелке длиной $20$ см: $T = 3600$ с даёт ускорение порядка $6 \cdot 10^{-7}$ м/с² — вот насколько оно чувствительно к большому периоду.

англ. Centripetal acceleration

Ускорение при движении по окружности, направленное к центру и меняющее направление скорости, а не её модуль; растёт с квадратом скорости и падает с ростом радиуса.

Центростремительное ускорение — то, с которым тело движется по окружности или любой криволинейной траектории. Скорость по модулю может не меняться, но её направление каждую секунду другое — а ускорение и есть скорость изменения вектора скорости. Геометрия показывает: при равномерном вращении это изменение направлено строго к центру окружности, и его величина равна $v^{2} / R$ . Измеряется в м/с², как любое ускорение. Три равноценные формы записи через линейную скорость, угловую скорость и период: чем быстрее движение и чем теснее поворот, тем больше ускорение.

Числа делают формулу осязаемой. Автомобиль на повороте радиусом $R = 50$ м со скоростью $72$ км/ч, то есть $v = 20$ м/с, получает $a = 400/50 = 8$ м/с² — почти вертикальная перегрузка, которую шины должны обеспечить силой трения. Луны на орбите радиусом $3, 8 \cdot 1 0^{8}$ м с периодом $27, 3$ суток дают ускорение около $2, 7 \cdot 1 0^{- 3}$ м/с² — ровно то значение, из которого Ньютон вывел закон всемирного тяготения. Роль этого ускорения в динамике — центральная: именно оно умножается на массу во втором законе Ньютона при повороте, см. урок кинематика точки и термин движение по окружности.

a_{ц} = \frac{v ^{2}}{R} = ω^{2} R = \frac{4 π ^{2} R}{T ^{2}}

три формы одной величины: через линейную скорость

v

, угловую

ω

и период обращения

T

; всегда направлено к центру

Частые вопросы

Почему центростремительное ускорение направлено к центру, а не по движению?

Разложим изменение скорости за малое время $Δ t$ : касательная составляющая меняет модуль, а нормальная — направление. При равномерном обращении модуль не меняется, остаётся только нормальная часть, и предельное направление вектора $Δ v$ — это хорда, стягивающая малую дугу, то есть почти перпендикуляр к скорости. Перпендикуляр к скорости в каждой точке окружности — радиус, и он ведёт к центру.

Как найти центростремительное ускорение через период обращения?

За один период $T$ тело проходит окружность длиной $2 π R$ , значит $v = 2 π R / T$ . Подставляем в $a = v^{2} / R$ и получаем $a = 4 π^{2} R / T^{2}$ . Проверка на минутной стрелке длиной $20$ см: $T = 3600$ с даёт ускорение порядка $6 \cdot 1 0^{- 7}$ м/с² — вот насколько оно чувствительно к большому периоду.