🎲 Тервер

Альтернативная гипотеза

Q: Почему нельзя «доказать» нулевую гипотезу?

Тест асимметричен: $H_0$ защищается по умолчанию, и фраза «нет оснований отвергнуть» означает лишь, что улик против неё набралось мало — возможно, выборка мала, а эффект существует. Отсутствие улик — не доказательство невиновности. Корректные формулировки звучат «$H_0$ не отвергается на уровне $5\%$», а не «$H_0$ истинна». Усилить вердикт помогает мощность: объём выборки планируют так, чтобы практически важный эффект не проскочил незамеченным.

англ. Alternative hypothesis

Гипотеза H₁ — то, во что превращается вывод при отвержении нулевой: «эффект есть», «параметр сдвинулся». Её вид задаёт критическую область: двустороннюю или одностороннюю.

Проверка гипотез — суд с двумя версиями. Нулевая гипотеза $H_{0}$ — статус-кво: новый станок не лучше старого, параметр равен конкретному числу. Альтернативная гипотеза $H_{1}$ — обвинение: эффект есть, параметр изменился. Тестируют $H_{0}$ , а $H_{1}$ доказывается косвенно: данные либо позволяют отвергнуть нулевую, либо нет. От формулировки $H_{1}$ зависит вся геометрия теста: $H_{1} : μ \neq = μ_{0}$ требует двусторонней критической области, $H_{1} : μ > μ_{0}$ или $μ < μ_{0}$ — односторонней, и это меняет критическое значение. Общая схема — в уроке проверка гипотез, словарная статья нулевой — гипотеза нулевая.

Пример-вердикт: станок должен штамповать детали по $100$ мм. Контрольные $25$ деталей дали $\overset{ˉ}{X} = 100, 6$ мм, $S = 1, 5$ мм. Против двусторонней $H_{1} : μ \neq = 100$ : $t = (100, 6 - 100) / (1, 5/5) = 2, 0$ при $ν = 24$ , критическое значение $2, 064$ — $H_{0}$ не отвергается, настраивать станок повода нет. Но если инженера интересует лишь перерасход — детали длиннее нормы, — берём $H_{1} : μ > 100$ с односторонним порогом $1, 711$ : тот же $t = 2, 0$ уже значим. Данные одинаковые, вердикты разные: формулировка альтернативы — часть решения.

H_{0} : μ = μ_{0} против H_{1} : μ \neq = μ_{0} (двусторонняя); H_{1} : μ > μ_{0} или μ < μ_{0} (односторонняя)

вид альтернативы задаёт критическую область: ≠ — два хвоста, знак неравенства — один

Частые вопросы

Почему нельзя «доказать» нулевую гипотезу?

Тест асимметричен: $H_{0}$ защищается по умолчанию, и фраза «нет оснований отвергнуть» означает лишь, что улик против неё набралось мало — возможно, выборка мала, а эффект существует. Отсутствие улик — не доказательство невиновности. Корректные формулировки звучат « $H_{0}$ не отвергается на уровне $5%$ », а не « $H_{0}$ истинна». Усилить вердикт помогает мощность: объём выборки планируют так, чтобы практически важный эффект не проскочил незамеченным.

Как выбрать между односторонней и двусторонней альтернативой?

По смыслу задачи, до взгляда на данные. Отклонение в любую сторону одинаково плохо — номинал детали, дозировка лекарства — берите двустороннюю. Заранее важно одно направление — новый метод может быть только быстрее, интересен лишь рост продаж — односторонняя, и она чувствительнее при том же $α$ , ведь весь уровень значимости уходит в один хвост. Грязный трюк — выбирать сторону, подсмотрев данные: он удваивает реальную ошибку первого рода и превращает тест в самообман.