Задание 11 ОГЭ по математике: графики функций — как соотнести формулу и картинку

Одиннадцатое задание не просит ничего построить. Дают три формулы и три картинки — соотнесите. Балл один, времени три минуты, вся теория — таблица из четырёх строк. Задание решается глазами: посмотрели на формулу, узнали вид графика, посмотрели на знак коэффициента, выбрали рисунок. Учить нужно не формулы, а приметы каждой линии — как приметы человека: наклон, ветви, выколотая точка на оси.

Словарь темы: функция с базовыми определениями и дробно-линейная функция — та самая гипербола. Здесь же — экзаменационная выжимка: четыре семейства графиков и их приметы.

Четыре семейства графиков и их приметы#

Порядок чтения формулы фиксированный: сначала узнайте семейство (степень икса подскажет), потом знак старшего коэффициента, потом сдвиг. Формула $y=-2x^2+3$ читается за три секунды: степень два — парабола, минус при $x^2$ — ветви вниз, тройка — вершина поднята на 3.

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

ФИПИ проверяет три навыка: опознание семейства, чтение знака коэффициента и понимание сдвигов. Ловушки соответствующие:

• Параболу перепутали с гиперболой издалека: у гиперболы ветви не соединяются, у параболы есть вершина. Смотрите на связь ветвей, а не на «похожесть».
• Знак $k$ у прямой прочитан по ориентации оси, а не по графику: линия «вниз-вправо» означает $k<0$, всегда.
• $b$ — это точка пересечения с осью $y$, а не с осью $x$. Пересечение с $x$ находится решением $kx+b=0$.
• У гиперболы перепутаны четверти: $k>0$ даёт ветви в I и III (правая верхняя и левая нижняя), $k<0$ — во II и IV.
• Вершина параболы посчитана по формуле $-\frac{b}{2a}$, но знак $b$ подставлен без минуса: для $y=x^2-4x$ вершина в $x=2$, а не в $-2$.

Алгоритм соотнесения#

1. 1
   Разложите три формулы по семействам: прямая, парабола, гипербола. На картинках обычно ровно по одному графику каждого вида.
2. 2
   Для прямой определите знак $k$ по наклону и $b$ по пересечению с вертикальной осью.
3. 3
   Для параболы определите направление ветвей по знаку $a$; если нужны подробности — вершина $x_0=-\frac{b}{2a}$.
4. 4
   Для гиперболы определите четверти по знаку $k$; убедитесь, что ветви не касаются осей — они к ним только прижимаются.
5. 5
   Соотнесите буквы с номерами и один раз перепроверьте подстановкой удобной точки.

Пример 1. Классическое соотнесение трёх формул#

Условие в стиле банка ФИПИ: даны формулы а) $y=-2x+4$; б) $y=x^2-2$; в) $y=\frac{3}{x}$ — и три графика: 1) прямая, убывающая, пересекает ось $y$ в точке 4; 2) парабола ветвями вверх с вершиной на оси $y$ ниже нуля; 3) две ветви в I и III четвертях. Читаем по приметам: а) прямая с $k=-2<0$ — убывает, $b=4$ — старт с точки 4. Это рисунок 1. б) степень два, $a=1>0$ — ветви вверх, $c=-2$ — вершина на оси $y$ в точке −2. Рисунок 2. в) обратная пропорциональность с $k=3>0$ — ветви в I и III. Рисунок 3. Ответ: 123.

Обратите внимание, как ни одна формула не «решалась»: три приметы — семейство, знак, сдвиг — сделали всю работу. Именно этого ждёт составитель: скорость чтения формулы, а не вычисления.

Пример 2. Обратная задача: коэффициенты по рисунку#

Вторая версия задания даёт один график и просит знаки коэффициентов. Прямая проходит через точки $(0;-2)$ и $(2;2)$. Найдите $k$ и $b$. Пересечение с вертикальной осью — сразу $b=-2$. Наклон считаем по второй точке: при сдвиге на 2 вправо линия поднялась на 4, значит:

Тот же приём работает для параболы: ветви вниз — $a<0$, график пересёк ось $y$ в точке 3 — $c=3$, вершина в $x=1$ — из уравнения $-\frac{b}{2a}=1$ при $a=-1$ получаем $b=2$. Полная формула: $y=-x^2+2x+3$. Проверка подстановкой нуля даёт 3 — совпало с картинкой.

Куда смотрят составители: вершина параболы#

Самый коварный дистрактор задания 11 — две параболы с одинаковыми ветвями, но сдвинутые по горизонтали. Различие живёт в знаке $b$ при известном $a$: вершина $x_0=-\frac{b}{2a}$. Для $y=x^2-4x+3$: $x_0=-\frac{-4}{2}=2$ — вершина справа от нуля. Для $y=x^2+4x+3$: $x_0=-2$ — слева. Формулы отличаются только знаком перед четвёркой, а картинки — положением на листе. Потренируйте этот различитель: он же нужен в задании про наибольшее и наименьшее значение функции.

Типовые ошибки#

• Гиперболу опознали как параболу: у гиперболы нет вершины, ветви расходятся к осям и не встречаются.
• Знак $k$ прямой прочитан наоборот: линия падает вправо — это $k<0$, а не $k>0$.
• $b$ посчитали как точку пересечения с горизонтальной осью: $b$ — всегда высота на вертикальной оси.
• Вершина параболы подставлена без минуса: для $y=x^2-4x$ вершина в $x=2$.
• Четверти гиперболы перепутаны: $k>0$ — I и III, $k<0$ — II и IV. Подстановка $x=1$ решает спор мгновенно.

Формулы для задания 11#

Дальше по КИМ — расчёты по формулам: разбор задания 12. Теорию графиков углубите в уроке исследование функции и гайде как исследовать функцию; аналитическую сторону прямых — в уроке прямая на плоскости. Похожее соотнесение ждёт на ЕГЭ — разбор задания 9 профиля. После разбора закрепите глаза практикой в тренажёрах.