Задание 10 ОГЭ по математике: теория вероятностей — разбор с примерами

Задание 10 — самое предсказуемое место КИМ. Формулировка меняется: билеты, кубики, шары, ручки, насосы, монеты. Математика не меняется никогда: считаем отношение благоприятных исходов ко всем исходам и переводим его в десятичную дробь. Один балл за две минуты. Вероятность — единственная тема ОГЭ, где подготовка сводится к аккуратному чтению условия и одной формуле — за это её любят и девятиклассники, и составители.

Теоретическая база темы — урок классическая вероятность и термин классическое определение вероятности; здесь — экзаменационная выжимка. Вся формула задания:

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

Сюжеты банка ФИПИ крутятся вокруг четырёх сценариев: классическая вероятность по списку (билеты, ручки, шары), случайный опыт с симметричным предметом (монета, кубик), вероятность противоположного события и связка «хотя бы один». Ловушки перечислены в самих формулировках, надо только знать, где смотреть:

• Перепутали числитель и знаменатель: вероятность больше единицы не бывает. Получилось 2 или 1,5 — ищите, где деление перевёрнуто.
• Забыли пересчитать «остальные»: в задаче про 100 ручек назвали 22 зелёные и 33 синие, спрашивают про красные — сначала найдите 100 − 22 − 33.
• Ответ дали дробью, а в бланк нужна десятичная: $\frac{1}{4}$ превращаем в 0,25. ОГЭ принимает только десятичную запись (или целое).
• «Меньше 4» на кубике — это 1, 2 и 3, три исхода. «Не больше 4» — уже четыре: добавляется 4. Одно слово меняет ответ.
• Вероятность противоположного: если спрашивают «не проиграет», проще посчитать 1 − P(проиграет). Прямой перечислением часто дольше.
• События «хотя бы один» и «ровно один» — разные вещи. «Хотя бы один» считается через противоположное: 1 − P(ни одного).

Алгоритм: четыре шага до ответа#

1. 1
   Выпишите все равновозможные исходы — число n. Внимание к словам «всего» и «одновременно».
2. 2
   Пересчитайте благоприятные исходы m. Если событие описано «от противного» («не красная», «не больше»), сначала переформулируйте его положительно.
3. 3
   Проверьте здравым смыслом: m не больше n, обе величины целые, P лежит от 0 до 1.
4. 4
   Разделите и переведите в десятичную дробь: $\frac{3}{20}=0,15$. Запишите в бланк именно десятичную запись.

Пример 1. Билеты с вопросом по неравенствам#

Классика банка ФИПИ: в сборнике 40 билетов, в 8 из них встречается вопрос по неравенствам. Студент тянет один билет наугад. Какова вероятность, что вопрос по неравенствам ему не попадётся? Считаем все исходы: $n=40$. Благоприятные — билеты без неравенств: $m=40-8=32$. Делим:

Ответ 0,8. Здесь спрятаны сразу две ловушки: слово «не» (считаем именно билеты без неравенств) и пересчёт остатка. Кто в спешке поделил 8 на 40, получает 0,2 — вероятность противоположного события. Она тоже полезна: $P+P(\text{не})=1$, и проверка сходится мгновенно.

Пример 2. Ручки трёх цветов#

В магазине 100 ручек: 22 зелёные, 33 синие, остальные красные. Наугад берут одну ручку. Какова вероятность взять красную? Сначала найдём красные: $100-22-33=45$. Теперь формула:

Ответ 0,45. Задание проверяет дисциплину чтения: два числа даны в лоб, третье надо вычесть. Кто начал делить 33 на 100, отвечал на вопрос про синие ручки — вопрос, которого не задавали.

Пример 3. Два бросания монеты и «хотя бы один»#

Монету бросают дважды. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет орёл? Все исходы: ОО, ОР, РО, РР — четыре равновозможные пары. Прямым перечислением подходят три. Но быстрее — через противоположное событие «ни одного орла», то есть обе решки:

Ответ 0,75. Запомните приём: слово «хотя бы» — сигнал считать противоположное событие и вычитать из единицы. Тот же приём экономит время в задачах про «хотя бы одна лампа не перегорит» и «хотя бы один насос не сломается». Тренажёр с бесконечными задачами такого рода — тренажёр вероятности.

Кубик и монета: таблица частых событий#

Типовые ошибки#

• Дробь не переведена в десятичную запись — формально неверный ответ на бланке.
• Вероятность вышла больше единицы: деление перевернуто, m и n поменялись местами.
• «Остальные» не пересчитаны: красные ручки остались неназванными, но кто-то на них ответил.
• Слова «меньше» и «не больше» прочитаны одинаково — потерян или лишний исход.
• Событие «хотя бы один» посчитано как «ровно один»: $\frac{2}{4}=0,5$ вместо $0,75$ в задаче про монеты.

Формулы для задания 10#

Следующий номер КИМ — графики: разбор задания 11. Практика по вероятности: тренажёр вероятности с мгновенной проверкой и полный курс теории вероятностей — от монет до формулы Байеса. Похожее задание ждёт вас и на ЕГЭ: разбор задания 4 профиля, там сюжет тот же, а объём чуть больше. Пошаговый алгоритм с таблицей «вид задачи → метод» — в гайде как решать вероятность.

Вторая задача: два насоса и независимые события#

Вторая по частоте формулировка банка выглядит так: вероятность того, что новый насос в течение года выйдет из строя, равна 0,06; в гараже стоят два таких насоса, и спрашивают вероятность, что в течение года оба проработают без поломки. Решение занимает две строки. События «первый проработал» и «второй проработал» независимы, поэтому их вероятности перемножаются. Сначала переходим к противоположному событию: $1-0,06=0,94$ — вероятность, что один насос проработает год.

Ответ: 0,8836. Конечная десятичная дробь — обычный гость бланка: переписывайте её целиком, ничего не округляя. Приёмы самопроверки: результат обязан лежать от нуля до единицы — число $1,88$ сразу кричит о сложении вместо умножения; а вероятность «работают оба» обязана быть меньше вероятности «работает один»: $0,8836<0,94$. Родственный сюжет «хотя бы один» разобран в термине словаря.