Задание 9 ОГЭ по математике: уравнения — разбор всех типов с примерами

Девятое задание — пропуск в алгебру второй части. Формулировка короткая: «решите уравнение», а в ответе — одно число или пара чисел. Тип уравнения ФИПИ выбирает из трёх: линейное, квадратное, дробно-рациональное. Балл один, время минуты три-четыре, и вся теория помещается в одну таблицу дискриминанта. Если это задание пугает, проблема не в задании — в нетренированной руке, и лечится она тридцатью решёнными уравнениями, не больше.

Почему задание важнее своего балла: квадратное уравнение всплывает в текстовой задаче 21, в неравенствах 13, в графиках 11. Освоили дискриминант здесь — сняли нагрузку сразу с трёх мест КИМ. Полный курс темы — в теме квадратные уравнения словаря и в решателе квадратных уравнений, где любой ваш пример разбивается по шагам.

Три типа уравнения и их ловушки#

Банк ФИПИ держит три сценария, и у каждого — своя любимая ошибка:

• Линейное $ax+b=0$: забыли перенести слагаемое со сменой знака. $5x-3=2x+9$ — тройка едет вправо с плюсом на минус, девятка влево с минусом на плюс.
• Квадратное $a{x}^2+bx+c=0$: знак свободного члена в дискриминанте. $D=b^2-4ac$ — минус четыре на произведение, а не на один коэффициент.
• Дробно-рациональное: ответ без проверки ОДЗ. Значение, обращающее знаменатель в ноль, корнем быть не может — даже если идеально прошло уравнение.
• Квадратное с требованием «укажите больший корень»: нашли оба, а в бланк записали первый попавшийся. Перечитайте вопрос.
• Неполное квадратное $a{x}^2+c=0$: дискриминант избыточен, корни «плюс-минус корень», но знак при переносе теряют почти все.

Алгоритм: от условия до записи в бланк#

1. 1
   Опознайте тип: линейное, квадратное или дробно-рациональное. Для рационального сразу выпишите ОДЗ — знаменатель не ноль.
2. 2
   Линейное: соберите иксы слева, числа справа, поделите на коэффициент. $ax+b=0$ даёт $x=-b/a$.
3. 3
   Квадратное: выпишите $a$, $b$, $c$ и посчитайте $D=b^2-4ac$. Корни $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$. При $D=0$ корень один.
4. 4
   Дробно-рациональное: умножьте обе части на знаменатель, решите получившееся, выбросьте корни вне ОДЗ.
5. 5
   Перечитайте вопрос: просят оба корня, больший, меньший или сумму? Впишите в бланк ровно то, что спрошено.

Пример 1. Квадратное уравнение с выбором корня#

Условие: решите уравнение $2x^2-7x+3=0$ и укажите больший корень. Коэффициенты: $a=2$, $b=-7$, $c=3$. Дискриминант:

Просят больший — в бланк идёт 3. Проверка подстановкой: $2\cdot 9-21+3=0$, сходится. Обе ошибки классические: минус из $b=-7$ потерян в дискриминанте (получили $D=49-24$ от знака уже испорченного слагаемого — тут повезло, но при других числах не повезёт), либо в бланк уехало 0,5 просто потому, что нашлось первым.

Пример 2. Дробно-рациональное уравнение с ОДЗ#

Условие: $\frac{x^2-25}{x+5}=10$. Знаменатель запрещает $x=-5$ — это и есть ОДЗ. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов из шпаргалки формул сокращённого умножения: $x^2-25=(x-5)(x+5)$. Сокращаем при $x\ne -5$:

Ответ: 15. Пятнадцать не попадает в запрет — живёт спокойно. А вот близнец этой задачи, $\frac{x^2-36}{x-6}=12$, показывает, зачем нужна проверка: сокращение даёт $x+6=12$, то есть $x=6$, — но шестёрка обращает знаменатель в ноль и корнем быть не может. Уравнение не имеет решений, и честный ответ — «корней нет». На этом различии ФИПИ строит половину дистракторов.

Теорема Виета: короткий путь, когда он есть#

Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$. Уравнение $x^2-7x+10=0$ решается взглядом: какие два числа дают в произведении 10, а в сумме 7? Два и пять. Дискриминант не понадобился. Виета не заменяет проверку, но экономит минуту — а минута на ОГЭ — это хвост нерешённой геометрии. Подробный разбор с выводом и границами применимости — в статье теорема Виета решателя.

Типовые ошибки#

• Перенос слагаемого без смены знака: $5x-2x=9-3$ написано как $5x-2x=9+3$.
• Дискриминант посчитан от неприведённого уравнения с потерей $a$: $D=b^2-4c$.
• При $D>0$ в бланк уходит только один корень, хотя просят оба — или наоборот, просят один, а пишут пару.
• Рациональное уравнение решено без ОДЗ: корень, обращающий знаменатель в ноль, засчитан как ответ.
• Неполное уравнение $x^2=9$ решено как $x=3$: потерян корень $x=-3$, их всегда два.

Формулы для задания 9#

Дальше по КИМ — вероятность: разбор задания 10. Теорию уравнений закрепите практикой: решатель квадратных уравнений прогонит ваш пример по шагам, разбор уравнений профильного ЕГЭ покажет, куда эта тема растёт после 9 класса, а термин квадратное уравнение соберёт всю картину с картинками. Быстрые задачи — в тренажёрах.