Задание 7 ОГЭ по математике: буквенные выражения и преобразования — формулы сокращённого умножения

Седьмое задание — первая встреча с буквами на ОГЭ: в выражении живут $x$ или $a$, а в условии сказано, какому числу они равны. Соблазн подставить сразу велик и всегда наказуем: числа раздуваются, описки множатся. Правильный конвейер другой — сначала упростить выражение по формулам сокращённого умножения, потом подставить значение. В половине заданий банка ФИПИ после упрощения остаётся одна-две цифры, а в приятных вариантах переменная сокращается целиком и ответ вообще не зависит от подстановки.

Полный арсенал формул — в шпаргалке сокращённого умножения, а что такое разложение на множители и зачем оно нужно — в термине словаря. Здесь — экзаменационная выжимка: три сюжета задания, таблица формул и три разбора с честной арифметикой.

Три сюжета задания 7#

• «Найдите значение выражения при $x=...$»: упрощайте до подстановки — часто переменная сокращается целиком, и значение от неё не зависит.
• «Разложите на множители»: сначала вынесите общий множитель, затем примените формулу. Проверка — перемножьте обратно: должно получиться исходное выражение.
• «Сократите дробь»: числитель и знаменатель раскладываются на множители, общие множители убираются. Сокращать можно только множители — никогда слагаемые.

Формулы сокращённого умножения: рабочая пятёрка#

Алгоритм: от выражения до ответа#

1. 1
   Выпишите выражение и значение переменной. Значение пока отложите в сторону — не подставляйте.
2. 2
   Раскройте скобки или, наоборот, соберите их: ищите квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов.
3. 3
   Приведите подобные слагаемые. Если переменная исчезла — ответ готов и от значения не зависит.
4. 4
   Если осталась дробь — разложите числитель и знаменатель на множители и сократите общие множители.
5. 5
   Подставьте значение и посчитайте. Для проверки подставьте его же в исходное выражение на черновике — числа должны совпасть.

Пример 1. Ловушка независимости: ответ не зависит от x#

Условие: найдите значение выражения $(x+5{)}^2-x(x+10)$ при $x=1,4$. Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы и просто распределяем $x$ по второй скобке:

Ответ: 25 — и он одинаков при любом $x$, включая 1,4. Именно поэтому подстановка «в лоб» — роскошь, которой не место на экзамене: $2,4^2$ и $1,4\cdot 11,4$ посчитать можно, но зачем, если упрощение занимает одну строку? Если в вашем варианте переменная исчезла — это не ошибка, это самый приятный сюжет задания 7.

Пример 2. Сокращение дроби: разложить и убрать общее#

Условие: найдите значение выражения $\frac{a^2-6a+9}{a-3}$ при $a=7,4$. Числитель — квадрат разности: $a^2-6a+9=(a-3{)}^2$. Сокращаем:

Ответ: 4,4. Проверка на черновике честным «в лоб»: числитель $54,76-44,4+9=19,36$, знаменатель $4,4$, частное $19,36:4,4=4,4$ — совпало. Заметьте смысл сокращения: это деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Сократить «$a^2$ и $a$» из разных слагаемых нельзя — только множители целиком.

Пример 3. Разность квадратов в чистой арифметике#

Формулы работают и без букв. Вычислите $52^2-48^2$: возводить каждое число в квадрат — путь через столбик и две ошибки на ожидании. Разность квадратов сворачивает всё в устный счёт:

Ответ: 400. Это и есть сила аппарата задания 7: формула превращает тяжёлый счёт в устный. Тот же приём спасает, когда в условии встречаются «страшные» числа вроде $127^2-123^2$ — разность квадратов собирает их в удобное произведение $(127-123)(127+123)=4\cdot 250=1000$.

Типовые ошибки#

• $(a+b{)}^2$ раскрыт как $a^2+b^2$: потеряно удвоенное произведение $2ab$ — самая частая ошибка всей темы.
• Минус в квадрате разности потерян: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, минус живёт только у слагаемого $2ab$.
• Сокращение слагаемых: $\frac{x^2+1}{x+1}$ не равно $x+1$ — сокращать можно только множители.
• Знак при вынесении: $-a-b=-(a+b)$; потерянный минус ломает всё выражение дальше.
• Подстановка до упрощения: огромные числа, столбики, описка — и балл уходит туда, куда должны были уйти секунды.

Дальше по алгебре первой части — уравнения: разбор задания 9. Все формулы темы — в шпаргалке сокращённого умножения, разложение на множители как понятие — в термине, а квадратные уравнения, которые строятся на этих же формулах, прогоните через решатель по шагам.