Задание 12 ОГЭ по математике: расчёты по формулам — разбор с примерами

Двенадцатое задание — математика в прикладной одежде. Дают формулу из физики, экономики или быта и число-условие: найдите высоту, скорость, стоимость, время. Решение — подстановка и счёт, иногда с выражением нужной величины. Балл один, но статистика ФИПИ здесь коварна: теряют те, кто торопится с единицами измерения. Километры в час против метров в секунду, минуты против секунд — вся драма задания живёт в этих переводах.

Формула в задании — это функция нескольких величин: подставили значения — получили ответ. Определение с картинками — в термине функция. Для обратных задач (выразить переменную) пригодится гайд как находить область определения — там же привычка проверять, что знаменатель и подкоренное выражение живы.

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

ФИПИ проверяет три умения: честная подстановка, перевод единиц, выражение переменной из формулы. Ловушки повторяются:

• Единицы не согласованы: время в минутах при скорости в метрах в секунду. Перед подстановкой все величины — в одних единицах.
• Корень или квадрат потерян при выражении переменной: из $h=\frac{g{t}^2}{2}$ время выражается через корень, а не напрямую.
• Квадраты посчитаны позже сложения: сначала возводим в степень, потом умножаем и складываем. Порядок операций — половина задания.
• Спрашивают меньшее или большее значение (два корня у времени), а в бланк уходит первое найденное.
• В экономических формулах перепутаны проценты и доли: 15 % — это $0,15$, а не 15.

Алгоритм: подстановка и выражение#

1. 1
   Перепишите формулу и подпишите каждую букву словами: что есть что в условии.
2. 2
   Переведите все числа в единицы формулы. Скорость: км/ч делить на 3,6 даёт м/с.
3. 3
   Для прямой задачи подставьте числа, соблюдая порядок операций: степени, корни, умножение, затем сложение.
4. 4
   Для обратной задачи выразите нужную величину алгеброй: перенос, деление, при необходимости корень. Проверьте запреты: знаменатель не ноль, под корнем не минус.
5. 5
   Сверьте ответ с вопросом: спрашивали время — время и пишите; если корней два, выберите по условию (обычно меньшее положительное).

Пример 1. Время падения: прямая задача с корнем#

Классика банка ФИПИ: предмет падает с высоты $h$, время падения находится по формуле $h=\frac{g{t}^2}{2}$, где $g=10{\text{м/с}}^2$. С какой высоты упадёт предмет за 4 секунды? Выражаем высоту — подставляем время:

Ответ: 80 метров. Ошибка-приманка: подставить 4 и забыть квадрат, получив 20. Вторая приманка — посчитать $10\cdot 4^2$ как $(10\cdot 4{)}^2=1600$: скобки в формуле нет, квадрат относится только к четвёрке.

Пример 2. Обратная задача: выражаем время#

Теперь наоборот: предмет падает с 80 метров. Сколько секунд длится падение? Выражаем время из той же формулы. Умножаем обе части на 2, делим на $g$, извлекаем корень:

Ответ: 4 секунды. Формально корень даёт и минус четыре, но время отрицательным не бывает — отбор по смыслу задачи обязателен. Заметьте симметрию с примером 1: одна формула, два направления. На экзамене встречаются оба, и именно обратный вариант чаще роняет баллы — кто-то делит на 2 вместо умножения, кто-то забывает корень.

Пример 3. Перевод единиц: скорость поезда#

Поезд прошёл 54 километра за час, затем снизил скорость. Формула средней скорости $v=\frac{S}{t}$ спрашивает метры в секунду. Переводим: $54\text{км/ч}=\frac{54\cdot 1000}{3600}=15\text{м/с}$. Запомните компактное правило: километры в час делить на 3,6 — получаются метры в секунду. $\frac{3600}{1000}=3,6$, поэтому множитель всегда один и тот же: 90 км/ч — это 25 м/с, 36 км/ч — ровно 10 м/с.

Типовые ошибки#

• Смешаны единицы: подставили минуты туда, где секунды, или километры туда, где метры.
• Квадрат и множитель перепутаны местами: $(10\cdot 4{)}^2$ вместо $10\cdot 4^2$.
• При выражении переменной потерян корень: $t^2=16$ превратилось в $t=16$.
• Из двух корней в бланк ушёл отрицательный или лишний — отбор по смыслу пропущен.
• Проценты подставлены как 15 вместо 0,15 — стоимость выросла в сто раз.

Формулы для задания 12#

Дальше по КИМ — неравенства: разбор задания 13. Теорию подстановки укрепите в уроке исследование функции, а если формула после выражения переменной даёт квадратное уравнение — на помощь решатель с дискриминантом. Степени и корни для обратных задач повторите по шпаргалке степеней и корней. Практика с мгновенной проверкой — в тренажёрах.