Задание 13 ОГЭ по математике: неравенства — разбор линейных и квадратных

Тринадцатое задание спрашивает не число, а множество: промежуток, интервал или их объединение. Ответом служит номер варианта на картинке или запись вроде $[-3;1]$. Два сценария в банке ФИПИ: линейное неравенство (один шаг, осторожность со знаком) и квадратное (парабола плюс метод интервалов). Балл один, а навык — на всю дальнейшую математику: метод интервалов работает и в десятых классах, и на ЕГЭ, и в матанализе.

Полный алгоритм с таблицей знаков — в гайде как решать неравенства, практика — в тренажёре неравенств, а геометрическая картина знаков живёт в уроке исследование функции. Здесь — экзаменационный минимум.

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

Проверяются два навыка: арифметика знаков и понимание строгих с нестрогими неравенствами. Ловушки по версиям банка:

• Деление на отрицательное число без разворота знака: $-2x>4$ даёт $x<-2$, а не $x>-2$. Самая частая ошибка задания.
• Строгое и нестрогое перепутаны: круглая скобка против квадратной, выколотая точка против закрашенной. Знак $\le$ — точка входит, знак $<$ — нет.
• Корни квадратного трёхчлена найдены с ошибкой в дискриминанте — и вся картина знаков уехала.
• Знак параболы прочитан наоборот: при $a>0$ ветви вверх, и решение «меньше нуля» лежит между корнями, а не снаружи.
• Дробное неравенство решено умножением на знаменатель без учёта его знака — знаменатель с иксом так умножать нельзя.
• Ответ записан в порядке возрастания с перепутанными скобками: $(-\infty ;-2]$ — квадратная у выколотой границы.

Алгоритм: линейное и квадратное#

1. 1
   Опознайте тип: нет $x^2$ — линейное, есть — квадратное.
2. 2
   Линейное: соберите иксы в одну сторону, числа в другую. Делите на коэффициент; если он отрицательный — разверните знак неравенства.
3. 3
   Квадратное: приведите к нулю справа, найдите корни трёхчлена через дискриминант.
4. 4
   Нанесите корни на ось: закрашенные точки при $\le ,\ge$, выколотые при $<,>$.
5. 5
   Расставьте знаки: ветвями параболы вверх или вниз, между корнями — знак против направления ветвей.
6. 6
   Прочитайте решение с картинки и перечитайте вопрос: строгость скобок, порядок возрастания, вариант-номер.

Пример 1. Линейное неравенство с разворотом знака#

Условие: решите $5-3x\ge 20$. Переносим пятёрку: $-3x\ge 15$. Делим на минус три — и обязательно разворачиваем знак:

Ответ: $x\in (-\infty ;-5]$ — граница закрашенная, ведь неравенство нестрогое. Кто не развернул знак, получит $x\ge -5$ — ровно противоположное множество, и вариант на картинке уже ждёт этого ответа. Проверка точкой: $x=-6$ даёт $5+18=23\ge 20$ — верно; $x=0$ даёт $5\ge 20$ — ложь. Точка подтверждает решение за пять секунд.

Пример 2. Квадратное неравенство через параболу#

Условие: решите $x^2+3x-4\le 0$. Находим корни трёхчлена: дискриминант $D=9+16=25$, корни

Старший коэффициент $a=1>0$ — ветви вверх, парабола ниже нуля между корнями. Неравенство нестрогое, концы включаются:

Проверка серединой: $x=0$ даёт $-4\le 0$ — верно. Проверка снаружи: $x=2$ даёт $4+6-4=6\le 0$ — ложь. Оба штриха подтверждают картинку. Разложение трёхчлена на множители для метода интервалов упрощается формулами из шпаргалки сокращённого умножения: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$.

Отдельный случай: строгое и выколотые точки#

Смените в примере 2 знак на строгий: $x^2+3x-4<0$. Корни те же, решение тот же промежуток, но теперь концы выколоты: $x\in (-4;1)$ — круглые скобки. На бланке ОГЭ это выбор между вариантами с квадратными и круглыми скобками — дистрактор-близнец специально стоит рядом. Привычка: увидели строгий знак — представьте точки-дырки на оси.

Типовые ошибки#

• Знак не развернут при делении на отрицательное число — решение стало противоположным множеством.
• Корни посчитаны верно, а промежуток выбран снаружи вместо внутри: ветви вверх дают «минус» между корнями.
• Круглые скобки написаны при нестрогом неравенстве — граничная точка выкинута из решения.
• Дробное неравенство умножили на знаменатель, не разобрав его знак.
• Ответ записан от большего к меньшему: промежуток $[1;-4]$ не существует.

Формулы для задания 13#

Дальше по КИМ — прогрессии: разбор задания 14. Закрепите метод интервалов практикой в тренажёре неравенств и полным алгоритмом в гайде по неравенствам; типы задач неравенственной серии разобраны на странице типы: неравенства. Куда растёт тема после 9 класса — в разборе неравенств профильного ЕГЭ. Если корни упорно не находятся, прогоните трёхчлен через решатель с дискриминантом.

Типичная ошибка с решением: дробное неравенство#

Условие: решите $\frac{x-3}{x+2}\ge 0$. Ошибочное решение, за которое эксперт ставит ноль: обе части умножили на $x+2$ и получили $x\ge 3$. Ответ выглядит правдоподобно и потому опасен: потеряна целая ветвь. При $x<-2$ числитель и знаменатель отрицательны одновременно, дробь положительна — эти иксы обязаны войти в ответ. Да и само умножение на выражение с неизвестным знаком незаконно: при отрицательном $x+2$ знак неравенства перевернулся бы.

Верное решение — метод интервалов. Нули: $x=3$ — закрашенная точка (неравенство нестрогое, ноль числителя разрешён), $x=-2$ — выколотая (знаменатель). Пробная точка $x=0$ даёт $\frac{-3}{2}<0$: в среднем промежутке минус, по краям плюс. Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup [3;+\infty )$. Самопроверка подстановкой: $x=-3$ даёт $\frac{-6}{-1}=6\ge 0$ — левая ветвь настоящая, у ошибочного решения её не было. Рисунок знаков для квадратных случаев собран в термине квадратное неравенство.