Задание 14 ОГЭ по математике: прогрессии — формулы и разбор с примерами

Четырнадцатое задание закрывает алгебру первой части. Дают прогрессию в бытовом костюме — ряды амфитеатра, этажи дома, проценты по вкладу, бактерии в пробирке — и просят одно число: какой-то член или сумму. Формул всего четыре, и они висят на шпаргалке прогрессий одной страницей. Сложность задания — не в формулах, а в чтении: девятиклассник путает «шестой член» и «сумму шести членов», и именно на этой разнице ФИПИ строит дистракторы.

Теория последовательностей вообще — в уроке числовые последовательности и термине последовательность. Любопытный факт: геометрическая прогрессия — родственница знаменитых чисел Фибоначчи, где каждый член тоже рекуррентен — разбор в статье числа Фибоначчи. Здесь — экзаменационный минимум.

Четыре формулы задания#

Различие семейств узнаётся по слову в условии: «на 3 больше» — арифметическая, «в 3 раза больше» — геометрическая. Предлог решает, какая формула выйдет из кармана. Дальше работает счёт: подставили, посчитали степень, разделили.

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

• Путаница «член — сумма»: спросили $a_6$, ответили $S_6$. Читайте вопрос дважды: слово «сумма» обязано быть в тексте, чтобы работать с $S_n$.
• Ошибочный индекс: $a_n=a_1+d(n-1)$ — скобка $(n-1)$, а не $n$. Шестой член — это пять шагов от первого, а не шесть.
• В геометрической прогрессии степень $q^{n-1}$: для $b_6$ умножаем на $q$ пять раз. Квадрат числа может оказаться огромным — следите за порядком.
• Знак $q$: при $q=-2$ члены прогрессии скачут от плюса к минусу. Проценты по вкладу дают $q=1,1$ — плюс, а вот «число уменьшилось вдвое» — это $q=0,5$.
• Число членов: ряды с 3-го по 8-й — это шесть рядов, а не пять. Формула разности индексов: $8-3+1=6$.
• Сумма посчитана для «с 1-го по n-й», а в задаче «со 2-го»: вычтите первый член из полной суммы.

Алгоритм решения#

1. 1
   Опознайте семейство по предлогу «на» или «в» и выпишите $a_1,d$ или $b_1,q$ прямо из текста.
2. 2
   Перечитайте вопрос: просят член ($a_n$ или $b_n$) или сумму ($S_n$)? Разные формулы.
3. 3
   Подставьте в формулу. Для геометрической следите за степенью $n-1$ и знаком $q$.
4. 4
   Посчитайте аккуратно: степень — потом умножение. Калькулятора нет, но числа ОГЭ подобраны под устный счёт.
5. 5
   Проверьте порядок величины: сумма всегда больше любого своего члена при положительных данных; если вышло наоборот — ищите потерянный множитель.

Пример 1. Амфитеатр: арифметическая прогрессия и сумма#

Классика банка ФИПИ: в амфитеатре 10 рядов, в первом ряду 12 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Предлог «на больше» — арифметическая прогрессия: $a_1=12$, $d=2$, членов десять. Спрашивают сумму. Сначала последний ряд: $a_{10}=12+2\cdot 9=30$. Теперь сумма крайних:

Ответ: 210 мест. Ловушка формулы: девятка в скобке — это $n-1$ для десятого ряда, а не десять. Проверка здравым смыслом: средний ряд должен держать примерно $210/10=21$ место — действительно, между 12 и 30 лежит 21. Оценка через среднее работает каждый раз и ловит потерянные множители.

Пример 2. Бактерии: геометрическая прогрессия#

В пробирке 400 бактерий. Каждые три часа число бактерий удваивается. Сколько бактерий будет через 12 часов? Предлог «в два раза» — геометрическая прогрессия. За 12 часов происходит $12/3=4$ удвоения, значит нужен четвёртый шаг от старта:

Ответ: 6400 бактерий. Ошибка-приманка: $2^{12}$ — подставить часы вместо числа удвоений. Вторая приманка: $400\cdot 4\cdot 2=3200$ — «четыре удвоения это умножить на четыре». Проверка по шагам: 400 → 800 → 1600 → 3200 → 6400. Прогрессия честная, счёт сходится.

Пример 3. Вклад под проценты: та же геометрия#

Вклад 10 000 рублей растёт на 10 % в год. Сколько будет на вкладе через два года? Рост на 10 % означает умножение на 1,1 каждый год — прогрессия с $b_1=10000$, $q=1,1$:

Ответ: 12 100 рублей. Проценты не складываются: два года по 10 % дают 21 %, а не 20 %, потому что второй процент берётся уже с прибавки первого. ФИПИ любит этот дистрактор: вариант «12 000» стоит в ответах специально.

Типовые ошибки#

• Сумма посчитана вместо члена (или наоборот): вопрос прочтён один раз, а надо два.
• Скобка $(n-1)$ превращена в $n$: шестой член найден как $a_1+6d$.
• В геометрической прогрессии степень взята $n$ вместо $n-1$ — ответ улетел вдвое дальше.
• Число членов «с 3-го по 8-й» посчитано как 5 — потерян стартовый.
• Проценты сложены вместо умножения на $1,1$ дважды: 20 % вместо 21 %.

Формулы для задания 14 — компактная шпаргалка#

Дальше по КИМ — геометрия: разбор задания 15 про треугольники. Формулы повторите по шпаргалке прогрессий, а длинные последовательности и их пределы — в тренажёре последовательностей и уроке числовые последовательности. Больше задач с прогрессиями в кармане — на странице типов задач и в тренажёрах.