Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники — Пифагор, подобие и тригонометрия

Пятнадцатое задание открывает геометрический блок КИМ — и пугает тех, кто считал геометрию необязательной. Зря: задание 15 — самая предсказуемая геометрия экзамена. Восемь из десяти вариантов решаются теоремой Пифагора, остальные — подобием или таблицей синусов. Один инструмент, одна картинка, один балл. Порог тройки требует двух геометрических баллов, и задание 15 — самый простой способ их заработать.

Теория — в термине теорема Пифагора с доказательством и картинками, таблица значений — в шпаргалке тригонометрических формул. Здесь — экзаменационная выжимка: три инструмента и алгоритм выбора между ними.

Три инструмента задания 15#

Пифагоровы тройки — валюты задания: 3–4–5, 6–8–10, 5–12–13, 9–12–15, 8–15–17. Увидели в условии 12 и 13 — ждите 5; увидели 6 и 8 — ждите 10. Тройка экономит минуту счёта и работает как встроенная проверка.

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

• Пифагор применён к непрямоугольному треугольнику: теорема живёт только в прямоугольном. Проверьте прямой угол на рисунке.
• Гипотенуза и катет перепутаны: гипотенуза — всегда против прямого угла и всегда самая длинная сторона. Под корнем должны быть квадраты катетов.
• Синус посчитан как «прилежащий на гипотенузу» — это косинус. Синус смотрит через угол: противолежащий катет в числителе.
• Тангенс без косинуса: $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ или напрямую «противолежащий на прилежащий». Числитель и знаменатель перепутать легко.
• В подобии дробь перевернута: отношение одноимённых сторон в одном порядке — большие к маленьким или наоборот, но не вразнобой.
• Высота и медиана в равнобедренном треугольнике: к основанию они совпадают, к боковым — нет. Опора на картинку обязательна.

Алгоритм решения#

1. 1
   Перечертите рисунок крупно и отметьте прямой угол, если он есть.
2. 2
   Выпишите данное и искомое: две стороны, сторона и угол, или пропорция подобия.
3. 3
   Выберите инструмент: прямоугольный треугольник с двумя сторонами — Пифагор; параллельность или тени — подобие; угол и отношение — тригонометрия.
4. 4
   Считайте по формуле. Для тригонометрии сначала выразите нужную сторону: $a=c\cdot \sin \alpha$.
5. 5
   Проверьте порядок величины: гипотенуза длиннее любого катета, тангенс острого угла положителен, площадь не превышает половины произведения сторон.

Пример 1. Пифагор: трос мачты#

Классика банка ФИПИ: мачта укреплена тросом. Точка крепления троса на мачте — на высоте 4 метра от земли, нижний конец троса закреплён на земле в 3 метрах от основания мачты. Какова длина троса? Рисунок даёт прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 — трос гипотенуза:

Ответ: 5 метров. Ноль вычислительного риска: тройка знаковая. Ошибаются здесь единственным способом — применяют Пифагор к рисунку без прямого угла или путают, что в квадрат возводятся катеты, а трос потом извлекается из-под корня.

Пример 2. Тригонометрия: катет через синус#

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен $30^{\circ }$. Найдите катет, лежащий против этого угла. Определение синуса: противолежащий катет делить на гипотенузу. Выражаем катет:

Ответ: 5. Проверка: катет 5 короче гипотенузы 10 — реалистично. Заметьте связку: этот же треугольник решается Пифагором, если дан второй катет $5\sqrt{3}$ — инструменты взаимозаменяемы, выбирайте по данным условия. Таблицу значений $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$ держите под рукой до автоматизма — тренажёр тригонометрии гоняет её в формате мгновенной проверки.

Пример 3. Подобие: тень и рост#

Человек ростом 1,8 метра отбрасывает тень длиной 4 метра. Дерево в тот же момент отбрасывает тень 10 метров. Какова высота дерева? Солнце даёт одинаковый угол — треугольники подобны, отношение высот равно отношению теней:

Ответ: 4,5 метра. В подобии одна ловушка — порядок отношения: обе дроби «большое к маленькому» или обе «маленькое к большому». Перевернули одну — получили высоту 0,72 метра, и дерево превратилось в куст. Проверка здравым смыслом спасает.

Типовые ошибки#

• Пифагор применён к треугольнику без прямого угла — верных корней из условия не выйдет.
• Гипотенуза возведена в квадрат вместе с катетами: под корнем только катеты.
• Синус и косинус перепутаны: синус — противолежащий, косинус — прилежащий, и никак иначе.
• Тангенс посчитан как «прилежащий на противолежащий» — дробь перевернута.
• В подобии отношение собрано вразнобой: числитель с большой стороны, знаменатель тоже с большой — но от разных треугольников.

Формулы для задания 15#

Последняя строка — страховка: если прямого угла нет, а две стороны и угол даны, работает теорема косинусов — обобщённый Пифагор. В первой части она редкость, но знать её стоит: вторая часть любит.

Дальше по КИМ — окружности: разбор задания 16. Теорию углов подтяните в тренажёре тригонометрии, типы тригонометрических задач разобраны на странице типы: тригонометрия, а куда растёт планиметрия — в разборе планиметрии профильного ЕГЭ. Полные формулы — в шпаргалке тригонометрических формул.