Задание 16 ОГЭ по математике: окружности — разбор всех типов с примерами

Задание 16 — геометрический двойник задания 15: та же первая часть, тот же один балл за короткий ответ, но вместо треугольников — окружности. Спрашивают обычно что-то одно: найдите вписанный угол, найдите хорду, найдите расстояние от центра до хорды или угол между касательной и хордой. Объём теории здесь меньше, чем в треугольниках, — формул реально шесть, и пять из них работают почти в каждом варианте. Проблема не в объёме, а в том, что углы на окружности живут по правилам, которых нет у треугольников, — и без этих правил задание не решается вовсе.

Хорошая новость: шесть правил учатся за один вечер, а рисуются они на одной картинке — окружность с центром O, точкой A на границе и парой линий. Разберём правила по порядку, потом решим три задачи экзаменационного вида и соберём алгоритм.

Шесть правил, на которых держится задание 16#

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Та же дуга, увиденная из центра, даёт центральный угол — он равен дуге целиком. Отсюда главное соотношение темы: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Диаметр делит окружность на две дуги по 180°, половина — 90°. Это правило мгновенно превращает «круглую» задачу в прямоугольный треугольник.
• Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой: вершина может гулять по дуге, а угол не меняется.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Прямой угол появляется «из ничего» — и с ним сразу можно звать Пифагора.
• Вписанный в окружность четырёхугольник: суммы противоположных углов по 180°. Если сумма одной пары не 180 — четырёхугольник вписанным не был, условие поняли неверно.
• Хорды: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой — если хорды пересекаются. Для касательной и секущей из одной точки: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Разбор 1. Вписанный угол и центральный угол#

Классика формата: хорда AB стягивает дугу в 64°, точка C лежит на окружности с другой стороны хорды. Найдите угол ACB. Дуга AB равна 64° — это мера центрального угла AOB. Угол ACB вписанный и опирается на ту же дугу, значит, он вдвое меньше:

Ошибка-приманка здесь обратная: иногда дугу дают косвенно — «центральный угол AOB равен 64°». Мера дуги тогда та же самая: 64°, потому что центральный угол равен своей дуге. Схема одна и та же, меняется только упаковка условия. Если точка C лежит по ту же сторону хорды, что и центр, угол будет опираться на дополнительную дугу 360° − 64° = 296° и окажется равен 148° — читайте, где именно стоит вершина. На экзамене это отличие почти всегда подписано рисунком, и рисунок обязателен к прочтению.

Разбор 2. Касательная, радиус и Пифагор#

Второй по частоте тип: касательная проведена из внешней точки A, расстояние от A до центра O равно 10, радиус окружности 6. Найдите длину касательной AB до точки касания B. Проводим радиус OB в точку касания — он перпендикулярен касательной, треугольник AOB прямоугольный с гипотенузой AO = 10 и катетом OB = 6:

Числа 6, 8, 10 — пифагорова тройка, и в вариантах ФИПИ они повторяются постоянно: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13. Если после вычитания квадратов под корнем оказался полный квадрат — вы на верном пути. Если корень «не извлекается», а ответом должно быть целое число, проверьте, тот ли отрезок вы посчитали гипотенузой: гипотенуза в этом треугольнике всегда линия «внешняя точка — центр», потому что она лежит против прямого угла у точки касания.

Разбор 3. Угол, опирающийся на диаметр#

Третий типовой сюжет: точки A и B — концы диаметра, точка C на окружности, один из углов треугольника ABC при вершине A равен 37°. Найдите угол при вершине B. Поскольку AC — не диаметр, а AB — диаметр, угол ACB опирается на диаметр и равен 90°. В треугольнике сумма углов 180°, значит, угол B равен:

Обратите внимание на приём: окружность в решении закончилась после первого действия, дальше работал обычный треугольник. Так устроено большинство задач задания 16 — круг даёт один ключевой факт (прямой угол, половину дуги, перпендикуляр), а счёт довершает треугольная геометрия из задания 15. Если разбор треугольников ещё не прошёл — закройте сначала его: половина приёмов там общая.

Алгоритм решения задания 16#

1. 1
   Нарисуйте окружность и отметьте всё, что названо в условии: центр, точки, хорды, касательную. Без рисунка задание 16 не решается — проверено на тысячах работ.
2. 2
   Найдите дугу, о которой идёт речь, и её меру. Помните: центральный угол равен дуге, вписанный — половине.
3. 3
   Подключите нужное правило: угол на диаметре прямой, касательная перпендикулярна радиусу, вписанный четырёхугольник даёт 180° в противоположных углах.
4. 4
   Досчитайте треугольной геометрией: сумма углов 180°, теорема Пифагора, пропорции подобных треугольников. Проверьте ответ на правдоподобие: углы меньше 180°, длина хорды не больше диаметра.

Типовые ошибки#

• Вписанный угол приравняли к дуге: дуга 64°, а в ответе 64 вместо 32. Половина — каждый раз, когда вершина на окружности.
• Перепутали, какой отрезок гипотенуза в треугольнике «внешняя точка — центр»: делили 10 на 2, вместо того чтобы вычитать квадраты.
• Забыли, что вершина может лежать по другую сторону хорды, и взяли половину малой дуги вместо половины большой (32° вместо 148°).
• В вписанном четырёхугольнике сложили смежные углы вместо противоположных: 180° дают именно противоположные.
• Посчитали длину хорды по формуле диаметра: хорда всегда короче диаметра, если она не проходит через центр — быстрый фильтр абсурдных ответов.

Формулы задания 16#

Окружность как кривая с уравнением x² + y² = r² разобрана в уроке кривые второго порядка — оттуда видно, почему хорда и касательная вообще связаны с производной. Для разборов 2 и 3 нужен только Пифагор и сумма углов — короткие формулы лежат в шпаргалке по тригонометрии рядом с таблицей синусов. Единичная окружность как носитель синуса и косинуса — в статье единичная окружность: полезно увидеть, что экзаменационная картинка задания 16 — это та же единичная окружность, только с числами вместо углов.

Закрепляйте решением: две-три задачи каждого типа из открытого банка — и задание 16 перестаёт быть геометрией, превращаясь в арифметику с рисунком. На завтра оставьте задание 21: там та же логика «таблица → уравнение», но с развёрнутым решением на два балла.

Окружности закрыты — впереди вторая часть. На соседней странице разобраны уравнения задания 9 и текстовые задачи задания 21 — самый дорогой алгебраический балл экзамена. Вероятность десятого задания повторяется по формулам вероятности, а общая навигация по разделу — в хабе ОГЭ.