Задание 21 ОГЭ по математике: текстовые задачи — разбор всех типов с решением

Задание 21 — первый номер второй части, где от вас ждут не число, а решение: записанный ход рассуждений, уравнение и ответ. Стоит оно два первичных балла — столько же, сколько тригонометрия на ЕГЭ стоит в тринадцатом задании. Сюжет всегда один из трёх: движение (машины, поезда, лодки с течением), совместная работа (трубы, мастера, насосы) или смеси со сплавами. Условия меняются, скелет — никогда: составьте таблицу, введите переменную, получите уравнение, решите его и отберите подходящий корень.

Почему это задание выгоднее многих в первой части? Оно предсказуемо. В связке 1–5 можно ошибиться на масштабе, в задании 19 — на формулировке, а здесь три сюжета, три шаблона и полчаса тренировки на каждый. Балл за частично верное решение тоже реален: если идея верна, но в конце арифметическая описка, ставят один балл из двух — такого щедрого критерия в первой части нет вовсе.

Три сюжета — три ключевых соотношения#

• Движение: путь равен скорости, умноженной на время, $s=v\cdot t$. Река добавляет к скорости лодки течение по ходу и отнимает против. Два тела навстречу — скорости складываются, вдогонку — вычитаются.
• Работа: объём работы равен производительности, умноженной на время, $A=p\cdot t$. Если работу не назвали, принимайте её за единицу. Совместная производительность — сумма индивидуальных.
• Смеси и сплавы: масса чистого вещества сохраняется. Смешали m₁ граммов с концентрацией c₁ и m₂ граммов с концентрацией c₂ — получили m₁c₁ + m₂c₂ чистого вещества в (m₁ + m₂) граммах смеси.

Разбор 1. Движение: два автомобиля#

Из города A в город B, расстояние между которыми 240 км, одновременно выехали два автомобиля. Первый ехал со скоростью на 20 км/ч больше второго и прибыл в B на час раньше. Найдите скорость второго автомобиля. Таблица: скорость второго x, первого x + 20; время второго 240/x, первого 240/(x + 20); разница времён — один час:

Умножаем обе части на x(x + 20): слева 240(x + 20) − 240x = 4800, справа x² + 20x. Получаем квадратное уравнение x² + 20x − 4800 = 0. Дискриминант D = 400 + 19200 = 19600, корень из него 140, корни:

Скорость не бывает отрицательной, поэтому ответ 60 км/ч. Проверка по смыслу: второй ехал 240/60 = 4 часа, первый 240/80 = 3 часа — разница ровно час. Заметьте, как устроен отбор корней: не «где-то там лишний», а конкретное правило — время, скорость и работа неотрицательны, и ноль обычно тоже невозможен по смыслу (делить на ноль нельзя). Именно этот отбор эксперты называют «проверкой на соответствие условию» и снижают балл за его отсутствие.

Разбор 2. Совместная работа: две трубы#

Первая труба наполняет бассейн на 6 часов дольше, чем вторая, а вместе они наполняют его за 4 часа. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба? Работу принимаем за 1. Производительность второй 1/x, первой 1/(x + 6), совместная — сумма:

Приводим к общему знаменателю: слева (2x + 6)/(x(x + 6)), приравниваем к 1/4. Крест-накрест: 4(2x + 6) = x² + 6x, то есть x² − 2x − 24 = 0. Дискриминант 4 + 96 = 100, корни 6 и −4. Отрицательный корень отбрасываем: время не бывает отрицательным. Ответ: 6 часов. Проверка: первая труба за 12 часов, за час вместе 1/6 + 1/12 = 1/4 — четыре часа на весь бассейн, всё сходится. Структура полностью совпала с разбором 1: то же дробное уравнение, тот же квадратный трёхчлен, тот же отбор — меняются только названия строк таблицы.

Разбор 3. Смесь: вода и кислота#

Смешали 10 килограммов 40-процентного раствора кислоты и 15 килограммов 60-процентного. Какова концентрация получившегося раствора? Чистая кислота: 10 · 0,4 = 4 кг в первом и 15 · 0,6 = 9 кг во втором, всего 13 кг. Масса смеси 25 кг, концентрация:

Ответ обязан лежать между 40 % и 60 % — смесь не может стать крепче крепкого компонента или слабее слабого. Этот фильтр правдоподобия выручает и в вариантах с уравнением: сплавили x килограммов, решали, получили 75 %, а компоненты были 20 % и 50 % — значит, где-то ошибка, ищите её до перечитывания условия.

Как оформляют решение и за что снимают баллы#

Записывайте решение как связный текст с формулами: «пусть x — скорость второго», таблица или перечень выражений, уравнение, его решение, отбор корня, ответ с единицами. Два балла ставят за полное верное решение; один балл — когда ход верен, но допущена вычислительная ошибка или не проведён отбор корня при верном ответе; ноль — когда идея неверна или решение отсутствует. Грубая, но частая потеря балла: ответ «60» без единиц и без вывода — эксперт обязан считать, что число взято откуда-то ещё.

Типовые ошибки#

• Сложили скорости при движении вдогонку: одна машина догоняет другую — скорости вычитаются. Складываются только навстречу.
• Течение прибавили дважды или не прибавили вовсе: по течению v + u, против v − u, и обе скорости подставляются в свои строки таблицы.
• Приняли за x «скорость первого», когда спрашивают второго, и забыли вернуться: на экзамене это минус балл за ответ не на вопрос.
• Отбросили верный корень или оставили лишний: проверяйте оба корня через неотрицательность и здравый смысл.
• В задачах на работу сложили времена вместо производительностей: вместе трубы работают быстрее, а не дольше.
• В смесях перемешали проценты с долями: 40 % — это 0,4 в формуле, а не 40.

Уравнения здесь квадратные — если дискриминант пока вызывает паузу, прогоните несколько примеров через решатель квадратных уравнений: каждый шаг с пояснением. Отбор корней — родной брат метода интервалов: логика знаков разобрана в материале как решать неравенства. Больше практики движения — на странице типы задач: движение, работы — типы задач: совместная работа. Квадратное уравнение как понятие — в статье квадратное уравнение.

На этом разбор десяти самых востребованных страниц ОГЭ замыкается. Дальше — систематическая практика: тренажёры с мгновенной проверкой закрывают каждый тип первой части, а хаб ОГЭ соберёт для вас маршрут по всем заданиям.