Задание 20 ОГЭ по математике: выражения, уравнения и неравенства — разбор части 2

Двадцатое задание открывает алгебру второй части: впервые на экзамене ждут не число в бланке, а записанное решение. Стоит оно два первичных балла и берётся тремя сюжетами: упростить выражение и найти его значение, решить уравнение, решить неравенство. Это самый доступный балл второй части — доступнее текстовой задачи 21, потому что аппарата нужно меньше: сокращение дробей, ОДЗ и метод интервалов. Всё это вы уже знаете по первой части, здесь те же инструменты, но с записью хода рассуждений.

Чем задание отличается от первой части: эксперт читает логику. Верная идея с опиской оценивается одним баллом из двух, а голый ответ без решения — нулём. Поэтому пишем связный текст: «преобразуем», «ОДЗ», «знаки по методу интервалов», «ответ». Неравенства здесь — прямые родственники задания 13: разбор метода интервалов стоит перечитать перед этой страницей.

Три сюжета и что для них нужно#

Разбор 1. Упрощение выражения#

Условие: упростите выражение $\frac{a^2-9}{2a+6}\cdot \frac{a+3}{a-3}$ и найдите его значение при $a=7$. Первый множитель раскладывается на множители: числитель — разность квадратов, знаменатель — вынос двойки за скобку:

При $a=7$ значение равно $\frac{7+3}{2}=5$. Ответ: 5. После сокращения выражение стало линейным по $a$ — считалось бы и в уме. Оговорка о допустимых значениях ($a\ne \pm 3$) полезна письменно: это часть культуры решения, и именно она защищает от сокращения «на ноль». В сложных вариантах, где предложенное значение попадает под запрет, без этой строки решение разваливается.

Разбор 2. Дробно-рациональное уравнение#

Условие: решите уравнение $\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}$. Сначала ОДЗ: $x\ne \pm 1$, потому что $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Умножаем обе части на $(x-1)(x+1)$:

Отсюда $x=0,6$. Проверка с ОДЗ: $0,6\ne \pm 1$ — корень допускается. Ответ: 0,6. Контрольная подстановка на черновике: $\frac{3}{-0,4}+\frac{2}{1,6}=-7,5+1,25=-6,25$ и справа $\frac{4}{0,36-1}=\frac{4}{-0,64}=-6,25$ — сходится. Стандартная потеря здесь — пропущенная ОДЗ: в вариантах, где найденный корень совпадает с запретом, она превращает красивое решение в неверный ответ.

Разбор 3. Неравенство методом интервалов#

Условие: решите неравенство $\frac{x-5}{x+3}\ge 0$. Нули выражения: $x=5$ из числителя и $x=-3$ из знаменателя. На числовой прямой закрашиваем точку 5 (неравенство нестрогое) и выкалываем $-3$ (знаменатель не бывает нулём). Знаки расставляем пробной точкой, например $x=0$: дробь $\frac{-5}{3}$ отрицательна, значит в среднем промежутке минус, а по краям плюс:

Ответ: $x\in (-\infty ;-3)\cup [5;+\infty )$. Три требования эксперта здесь: знаки на промежутках расставлены и способ их получения виден, выколотость точки $-3$ объяснена (знаменатель), скобки соответствуют строгости — круглая у выколотой, квадратная у закрашенной. Умножать неравенство на знаменатель напрямую нельзя: знак $x+3$ неизвестен, и знак неравенства мог бы перевернуться — именно поэтому существует метод интервалов.

Критерии оценивания#

Типовые ошибки#

• ОДЗ не выписана: сокращение дроби «на ноль» осталось незамеченным, и ложный корень уехал в ответ.
• Умножение неравенства на выражение с неизвестным знаком: знак мог перевернуться — нужен метод интервалов, а не перекрёстное умножение.
• Закрашенная точка у знаменателя: в разборе 3 точка $-3$ обязана быть выколотой, нестрогость касается только числителя.
• Формат ответа перепутан: у уравнения ответ — числа, у неравенства — промежуток. Обратные записи эксперт не принимает.
• Арифметика с минусом: $-7,5+1,25$ — самая частая описка, превращающая два балла в один.

Следующая станция второй части — текстовые задачи: разбор задания 21. Метод интервалов в полном объёме — в термине словаря и решателе неравенств, пошаговый гайд — в материале как решать неравенства. Практику гоняйте в тренажёре неравенств — мгновенная проверка приучает к знакам и скобкам.

Вторая задача: биквадратное уравнение#

Во второй части любят уравнения выше второй степени, и самый частый гость — биквадратное: решите $x^4-13x^2+36=0$. Замену пишем словами, как этого ждёт эксперт: пусть $t=x^2$, где $t\ge 0$. Уравнение становится квадратным: $t^2-13t+36=0$, дискриминант $D=169-144=25$, корни $t=\frac{13\pm 5}{2}$, то есть $t=9$ и $t=4$. Оба значения неотрицательны, ограничение замены ничего не отбраковывает — возвращаемся к исходной переменной:

Ответ: $x=\pm 3$, $x=\pm 2$ — четыре корня: $-3$, $-2$, $2$, $3$, и все обязаны быть перечислены. Самопроверка подстановкой: $81-117+36=0$ для тройки и $16-52+36=0$ для двойки — сходится. Типовая потеря балла: записать только $3$ и $2$, забыв симметричные минусы. Теория замены — в термине биквадратное уравнение.