Задание 23 ОГЭ по математике: геометрическая задача на вычисление — разбор части 2

Задание 23 — геометрическая задача второй части на вычисление: найти отрезок, угол или площадь, записав каждое действие с обоснованием. Два первичных балла, и в отличие от доказательств 24–25 здесь не нужно строить рассуждение о равенстве фигур — только честный расчёт со ссылками на теоремы. Это делает задание 23 самым доступным геометрическим баллом второй части: конфигурации стандартные, формул мало, а ход решения почти всегда двухшаговый.

Разница с первой частью — в записи. Число в бланке первой части проверяет только ответ; здесь эксперт читает, почему треугольник прямоугольный, откуда взялась равнобедренность и по какой формуле считается площадь. Формулы собраны в шпаргалке тригонометрии и термине о площади через синус, а ниже — три разбора типовых конфигураций.

Инструменты задания 23#

Разбор 1. Высота к гипотенузе через площадь#

Условие: в прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12. Найдите гипотенузу и высоту, проведённую к гипотенузе. Первый шаг — теорема Пифагора:

Второй шаг — площадь двумя способами. С одной стороны, $S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12=54$. С другой — та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: $S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot h$. Приравниваем:

Ответ: гипотенуза 15, высота 7,2. Запись решения выглядит так: «треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора $c=15$; площадь $S=\frac{1}{2}ab=54$; с другой стороны, $S=\frac{1}{2}ch$, откуда $h=7,2$». Две формулы площади и одна ссылка на теорему — полный комплект для двух баллов. Проверка правдоподобия: высота 7,2 короче гипотенузы 15 и короче обоих катетов — так и должно быть, высота — кратчайшее расстояние от вершины до противоположной стороны.

Разбор 2. Высота равнобедренной трапеции#

Условие: в равнобедренной трапеции основания равны 8 и 18, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции. Опустим высоты из вершин меньшего основания: они отсекают от большего основания два равных прямоугольных треугольника по краям. Из симметрии проекция каждой боковой стороны на основание равна:

Высота — второй катет этого треугольника, боковая сторона 13 — гипотенуза. По теореме Пифагора:

Ответ: 12. Классическая ошибка — не поделить разность оснований пополам: проекция равна пяти именно потому, что высоты из двух вершин симметричны. Заодно проверьте правдоподобие: боковая сторона 13 длиннее высоты 12 — верно, высота короче любой наклонной. Если в продолжение задачи спросят площадь, она считается мгновенно: $\frac{8+18}{2}\cdot 12=156$.

Разбор 3. Биссектриса параллелограмма#

Условие: биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K, причём BK = 7, KC = 3. Найдите периметр параллелограмма. Ключ — два факта об углах: $\angle BAK=\angle KAD$, потому что AK — биссектриса, и $\angle BKA=\angle KAD$, потому что это накрест лежащие углы при параллельных $BC\parallel AD$ и секущей AK. Значит, $\angle BAK=\angle BKA$:

Треугольник ABK равнобедренный с равными углами при основании AK, поэтому $AB=BK=7$. Сторона $BC=BK+KC=10$, и периметр:

Ответ: 34. Абзац про углы — то, за что платят два балла: без обоснования равнобедренности число 7 выглядит взятым из воздуха, и эксперт снимет балл за пробел в логике. Приём «биссектриса параллелограмма отрезает равнобедренный треугольник» входит в копилку почти каждого варианта второй части — выучите его как связку, а не как отдельную теорему.

Типовые ошибки#

• Ответ без обоснования: число 12 без ссылки на теорему Пифагора и симметрию трапеции — потеря балла, даже если число верное.
• Разность оснований не поделена пополам: проекция 10 вместо 5, и высота получается иррациональной — это сигнал ошибки, а не «сложная задача».
• Пифагор применён к непрямоугольному треугольнику: прямой угол обычно появляется после проведения высоты — сначала постройте его на чертеже.
• Периметр посчитан как сумма двух сторон без удвоения: у параллелограмма стороны парные.
• Равенство углов написано без слов «накрест лежащие при параллельных сторонах»: ссылка на параллельность — обязательная часть обоснования.

Соседние задания второй части — текстовые задачи 21 и доказательства 24–25, их разборы добавляются в раздел. Первая часть по этой же теме — треугольники и углы: задание 15 и задание 17. Куда растёт эта линия после девятого класса — в разборе планиметрии профильного ЕГЭ.