Закон больших чисел

Бросьте монетку десять раз — картина случайна; бросьте десять тысяч — доля орлов почти наверняка ляжет рядом с $0,5$. Закон больших чисел (ЗБЧ) превращает наблюдение в теорему: если $X_1,\dots ,X_n$ независимы, одинаково распределены и имеют конечные $EX=\mu$ и $DX$, то среднее ${\bar{X}}_n$ сходится к $\mu$ по вероятности: при любом $\epsilon$ вероятность $P(|{\bar{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )$ стремится к нулю. О форме распределения речи нет: годится что угодно — биномиальное, равномерное, скошенное. Форма Чебышёва требует конечной дисперсии, форма Хинчина обходится одним матожиданием. Применение в выборочном методе — в уроке закон больших чисел.

Отличие от ЦПТ — в вопросе. ЗБЧ отвечает «куда»: предел среднего равен $\mu$, и типичный масштаб ошибки около $\sigma /\sqrt{n}$. ЦПТ отвечает «как»: флуктуации среднего вокруг $\mu$ при больших $n$ распределены почти нормально с тем же масштабом $\sigma /\sqrt{n}$ — см. урок центральная предельная теорема. Практика: станок штампует детали со средним $100$ г и $\sigma =5$ г. ЗБЧ гарантирует: средний вес большой партии стремится к $100$ г. ЦПТ добавляет числа: по $400$ деталям типичный коридор $100\pm 0,75$ г — это три стандартные ошибки $3\cdot 5/20$.