🎲 Тервер

Таблица сопряжённости

Q: Когда хи-квадрат для таблицы применять нельзя?

При малых ожидаемых частотах: ориентир — все $E_{ij} \ge 5$, для таблиц $2 \times 2$ строже — применяют поправку Йетса. Лечение: объединить соседние категории («очень редко» с «редко»), добрать выборку или взять точный критерий Фишера, который для $2 \times 2$ честно считает гипергеометрические вероятности. И не путайте связь с причиной: значимая ассоциация смены и брака не доказывает, что смена вызывает дефект — возможно, ночью другие операторы или изношенный станок.

англ. Contingency table

Таблица частот двух категориальных признаков: строки — категории одного, столбцы — другого, в клетках — числа наблюдений. Независимость признаков проверяется хи-квадратом по этой таблице.

«Курят ли чаще мужчины?», «Зависит ли брак от смены?» — оба признака категориальные, средних здесь нет. Данные сводят в таблицу сопряжённости: строки — категории первого признака, столбцы — второго, в клетках — числа наблюдений, по краям — маргинальные итоги и общий объём $n$ . Главный вопрос — независимы ли признаки. Ответ даёт критерий хи-квадрат: под независимостью ожидаемая частота клетки равна произведению маргиналов, делённому на $n$ ; затем наблюдаемые частоты сравниваются с ожидаемыми. Аппарат критерия — в статье критерий хи-квадрат, практикум — в уроке критерии согласия.

Считаем: $200$ деталей, смены день/ночь и исходы годная/брак: день — $90$ годных и $10$ брака, ночь — $80$ и $20$ . Маргиналы: по $100$ деталей в смене, $170$ годных, $30$ брака. Ожидания при независимости: брака в каждой смене $100 \cdot 30/200 = 15$ , годных — $85$ . Хи-квадрат: $\frac{25}{15} + \frac{25}{15} + \frac{25}{85} + \frac{25}{85} = 3, 92$ при одной степени свободы; критическое значение на $5%$ — $3, 84$ . Гипотеза независимости на грани отвержения: связь смены с браком почти дотягивает до значимой, нужен добор данных.

E_{ij} = \frac{n _{i ∙} n _{∙ j}}{n}, χ^{2} = i, j \sum \frac{( O _{ij} - E _{ij} ) ^{2}}{E _{ij}}, ν = (r - 1) (c - 1)

ожидаемые частоты при независимости, статистика хи-квадрат и степени свободы таблицы r×c

Частые вопросы

Что показывают маргинальные суммы?

Профиль каждого признака по отдельности: сколько всего дневных и ночных деталей, сколько годных и бракованных. Хи-квадрат сравнивает клеточные частоты с тем, что предсказывают маргиналы при независимости, поэтому вывод относительный: связь есть или нет при данном составе выборки. Неравномерные маргиналы — например, днём проверяли вдвое больше — тесту не мешают: ожидания пересчитываются от фактических итогов, а не от гипотетических половин.

Когда хи-квадрат для таблицы применять нельзя?

При малых ожидаемых частотах: ориентир — все $E_{ij} \geq 5$ , для таблиц $2 \times 2$ строже — применяют поправку Йетса. Лечение: объединить соседние категории («очень редко» с «редко»), добрать выборку или взять точный критерий Фишера, который для $2 \times 2$ честно считает гипергеометрические вероятности. И не путайте связь с причиной: значимая ассоциация смены и брака не доказывает, что смена вызывает дефект — возможно, ночью другие операторы или изношенный станок.